Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Перпендикулярность прямой и плоскости

Перпендикулярные прямые в пространстве Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Перпендикулярность прямых а и b обозначается так: а ⊥b. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.
Перпендикулярность     прямой и плоскости Перпендикулярные прямые в пространстве   Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, Лемма Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к этой прямой, то Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости    Прямая называется перпендикулярной к Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.Дано: a ⊥α,b Признак перпендикулярности прямой и плоскостиТеорема: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости Теорема: Через любую точку пространства проходит Авторы:Александрова Аня 10БВасильева Катя 10БВасильева Надя 10БГаврилова Настя 10БЕгорова Люда 10Б
Слайды презентации

Слайд 2 Перпендикулярные прямые в пространстве
Две прямые

Перпендикулярные прямые в пространстве  Две прямые в пространстве называются перпендикулярными,

в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен

90°. Перпендикулярность прямых а и b обозначается так: а ⊥b. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

На этом рисунке перпендикулярные прямые а и b пересекаются, а перпендикулярные прямые
а и с скрещивающиеся


Слайд 3 Лемма Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к

Лемма Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к этой прямой,

этой прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой

прямой


Дано: а ⃦b и а ⊥ с. Доказать: b ⊥ c.
Доказательство: Через произвольную точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведём прямые а и с. Т.к. а ⊥с, то ∠АМС =90° Т.к. а ⃦b , а ⃦ МА, то b ⃦ МА. Итак, b ⃦ МА, с ⃦ МС,
∠ АМС = 90°, т. е. b ⊥ c. Лемма доказана.


Слайд 4 Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости  Прямая называется перпендикулярной к плоскости,

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к

любой прямой, лежащей в этой плоскости.


Перпендикулярность прямой a и плоскости α обозначается так: а ⊥ α.


Слайд 5 Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то

к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой

плоскости.




Дано: а ║а1 , а ⊥ α.
Доказать: а 1║ α
Доказательство: Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости α. Так как а перпендикулярна α, то а перпендикулярна х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а1 перпендикулярна х. Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т.е. а1 перпендикулярна α. Теорема доказана.
 


Слайд 6 Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то

Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.Дано: a

они параллельны.

Дано: a ⊥α,b ⊥α (а)
Доказать : a ║

b .
Доказательство:
Через какую-нибудь точку M прямой b проведем прямую b1, параллельную прямой a. По предыдущей теореме b1 ⊥α. Докажем ,что прямая b1 совпадает с прямой b .Тем самым будет доказано ,что a ║ b .Допустим ,что прямые b и b1 не совпадают .Тогда в плоскости β,содержащей прямые b и b1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой c ,по которой пересекаются плоскости α и β (б).Но это невозможно, следовательно, a║b. Теорема доказана.


Слайд 7 Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Теорема: Если прямая перпендикулярна

Признак перпендикулярности прямой и плоскостиТеорема: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся

к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она

перпендикулярна к этой плоскости.
Дано: а ⊥р, а ⊥q, р и q лежат в плоскости α.
р ⋂q = О. Доказать: а ┴ α
Доказательство:
Рассмотрим случай, когда прямая а проходит через т. О(рис. а). Проведём через т.О прямую l, параллельную прямой m . Отметим на прямой а точки А и В, чтобы АО=ОВ, и проведём в плоскости α прямую, пересекающие прямые р, q, и l соответственно в т. Р, Q, и L.
Т.к. р и q – серединные перпендикуляры к отрезку АВ, то АР=ВР и АQ=ВQ. Следовательно, ΔАРQ= ΔВРQ по трём сторонам, поэтому углы АРQ и ВРQ равны
ΔАРL= ΔВРL, поэтому АL=BL. Следовательно ΔАВL-равнобедренный и l ⊥а. Т.к. l ║m, l ⊥ а, то m ⊥а. Итак а ⊥ α.
Рассмотрим случай, когда прямая а не проходит через т.О. Проведём через т.О прямую а, а1 ║а. По лемме
а1 ⊥ р и а1 ⊥ q, поэтому а1 ⊥ α. Отсюда, а ⊥ α.
Теорема доказана.


Слайд 8 Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

Теорема: Через

Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости Теорема: Через любую точку пространства

любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости

и притом только одна.
Доказательство: Данную плоскость обозначим α, а произвольную точку пространства — буквой М. Докажем: 1) через точку М проходит прямая, перпенди-1ярная к плоскости а; 2) такая прямая только одна.
Проведем в плоскости α произвольную прямую а и рассмотрим плоскостьβ, проходящую че-; точку М и перпендикулярную к прямой а. Обозначим буквой b прямую, по которой пересекаются плоскости α и β. В плоскости β через точку М проведем прямую с, перпендикулярную к прямой b. Прямая с и есть искомая прямая. В самом деле, она перпендикулярна к плоскости α, т.к. перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости (с ⊥b по по построению и с ⊥а, так как (β ⊥ α).

2)Предположим, что через точку М проходит еще одна прямая (обозначим ее черезс1), перпендикулярная к плоскости α. Тогда с1 ║ с , что невозможно, т. к. прямые с1 и с пересекаются в точке М. Т.о., через точку М проходит только одна прямая, перпендикулярная плоскостиα. Теорема доказана.

  • Имя файла: perpendikulyarnost-pryamoy-i-ploskosti.pptx
  • Количество просмотров: 113
  • Количество скачиваний: 0