Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Объёмы пространственных фигур

Содержание

Вычисление объемов геометрических тел с помощью определенного интеграла.
Объемы пространственных        фигур Вычисление объемов геометрических тел с помощью определенного интеграла. 1. Понятие объема2. Объем прямой призмы3. Объем цилиндра4. Вычисление объемов тел с ОБЪЁМ.ЦЕЛИ УРОКА:Усвоить понятие объёма пространственной фигуры;Запомнить основные свойства объёма;Узнать формулы объёмов пространственных Геометрия Стереометрия Единицы измерения площади плоской фигуры: см²; дм²; м²…1 см1 смЕдиницы Равные тела имеют равные объемыЕсли тела А , В, С имеют равные Понятие объема в пространстве вводится аналогично понятию площади для фигур на плоскости.Определение Чтобы найти объём многогранника, нужно разбить его на кубы с ребром, равным единице измерения.V=20ед.3 Если тело разбить на части, являющиеся простыми телами, то объем тела равен объему его частей.VV=V1+V2V1V2V саbV=abcНапомним формулу объёма прямоугольного параллелепипеда. 1/10 nОбъем прямоугольного параллелепипедаV=a*b*ca, b, c-конечные десятичные дробиКаждое ребро разбивается параллельными плоскостями, АА1ВВ1СС1ДД1Следствие 1: Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.V=Soc*h, т.к. С1Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высотуПризма -треугольная:С1Д1, СД- высоты Ещё разV=abcV=abc:2:2V=abc:2V=ScV=Sh Объем цилиндраПризмы, которые вписаны и описаны около цилиндра, и если их основание Теорема: Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту. Цели : Научиться применять интегрирование функций в качестве одного из способов решения Дано :тело Т,αⅡβ, ОХ-ось, ОХ┴α, ОХ┴βОХ∩α=a, ОХ∩β=b, а a∆хіbхαβφ(x)Приближённое значение Vn объёма тела Т тем точнее, чем больше n и, следовательно, меньше ∆xiV= AA1A2BB1B2CC1C2OXhXОбъем наклонной призмыОбъем наклонной призмы равен произведению площади основания на высотуТреугольная призмаТ.п. V=V1+V2+V3==S1*h+S2*h+S3*h==h(S1+S2+S3)=S*hS1S2S3hОбъем наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь перпендикулярного ребру сечения2. hAA1BB1CC1M(х)M1Объем пирамидыОбъем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту1. Дана S1+ S2+ S3S1S2S3hV=1/3*(S1+ S2+ S3)*hОбъем пирамиды, имеющей в основании многоугольник.Следствие : Объем Теорема  Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.hххOAA1ММ1RR1 Доказательство   Дано: конус с объемом V, радиусом основания R, высотой Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а=0, b=h, AМOC⍶ххОбъем шараТеорема :Объем шара радиуса R равен 4/3πR³Дано: шар, Rш ; О- ABOC⍶АВ=hхШаровым сегментом называется часть шара , отсекаемая от него плоскостью. На чертеже Шаровой слойABCШаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя секущими параллельными плоскостями.Круги hRrOШаровой секторV=2/3πR²hШаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом меньше
Слайды презентации

Слайд 2
Вычисление объемов геометрических тел с помощью определенного интеграла.

Вычисление объемов геометрических тел с помощью определенного интеграла.

Слайд 3 1. Понятие объема
2. Объем прямой призмы
3. Объем цилиндра
4.

1. Понятие объема2. Объем прямой призмы3. Объем цилиндра4. Вычисление объемов тел

Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла
5. Объем

наклонной призмы

6. Объем пирамиды

7.Объем конуса

8. Объем шара

9. Объем шарового сегмента, шарового слоя, шарового сектора

Содержание урока :


Слайд 4 ОБЪЁМ.
ЦЕЛИ УРОКА:
Усвоить понятие объёма пространственной фигуры;
Запомнить основные свойства

ОБЪЁМ.ЦЕЛИ УРОКА:Усвоить понятие объёма пространственной фигуры;Запомнить основные свойства объёма;Узнать формулы объёмов

объёма;
Узнать формулы объёмов пространственных фигур.
Раскрытие связи между двумя науками:

алгеброй и геометрией. Вывод основной формулы для нахождения объёмов геометрических тел.


Слайд 5






Геометрия





Стереометрия
Единицы измерения площади плоской фигуры: см²;

Геометрия Стереометрия Единицы измерения площади плоской фигуры: см²; дм²; м²…1 см1

дм²; м²…

1 см
1 см
Единицы измерения объемов:
см³; дм³; м³…

1 см
1

см

1 см

Что изучают


Слайд 6





Равные тела имеют равные объемы
Если тела А ,

Равные тела имеют равные объемыЕсли тела А , В, С имеют

В, С имеют равные размеры, то объемы этих тел

– одинаковы.

Слайд 7

Понятие объема в пространстве вводится аналогично
понятию площади

Понятие объема в пространстве вводится аналогично понятию площади для фигур на

для фигур на плоскости.
Определение 1.  Объемом тела называется положительная

величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и обладающая следующими свойствами:
равные тела имеют равные объемы; при параллельном переносе тела его объем не изменяется;
если тело разбить на части, являющиеся простыми телами, то объем тела равен объему его частей;
за единицу объема принят объем куба, ребро которого равно единице длины;
Определение 2.  Тела с равными объемами называются равновеликими. Из свойства 2 следует, что если тело с объемом V1 содержится внутри тела с объемом V2, то V1 < V2.

Понятие объема.


Слайд 8 Чтобы найти объём многогранника, нужно разбить его на

Чтобы найти объём многогранника, нужно разбить его на кубы с ребром, равным единице измерения.V=20ед.3

кубы с ребром, равным единице измерения.




















V=20ед.3


Слайд 9 Если тело разбить на части, являющиеся простыми телами,

Если тело разбить на части, являющиеся простыми телами, то объем тела равен объему его частей.VV=V1+V2V1V2V

то объем тела равен объему его частей.



V
V=V1+V2
V1
V2
V


Слайд 10
с
а
b
V=abc
Напомним формулу объёма прямоугольного параллелепипеда.

саbV=abcНапомним формулу объёма прямоугольного параллелепипеда.

Слайд 11

1/10 n
Объем прямоугольного параллелепипеда
V=a*b*c
a, b, c-конечные десятичные дроби
Каждое

1/10 nОбъем прямоугольного параллелепипедаV=a*b*ca, b, c-конечные десятичные дробиКаждое ребро разбивается параллельными

ребро разбивается параллельными плоскостями, проведенными через точки деления ребер

на равные части длиной 1/10 n. объем каждого полученного кубика будет равен 1/10 3n, т.к. длина ребер этого кубика 1/10 n , то
а*10 n; в*10 n; с*10 n
Т.к. n→+∞, то Vn→V=авс
V=a*b*c*10³n* 1/10 3n=a*b*c

Слайд 12
А
А1
В
В1
С
С1
Д
Д1
Следствие 1:
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади

АА1ВВ1СС1ДД1Следствие 1: Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.V=Soc*h,

основания на высоту.
V=Soc*h, т.к. Sос.=a*b;h=c
Следствие 2:
Объем прямой

призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник равен произведению площади основания на высоту.
Т.к. ∆ABD-1/2 □АВСД→SABD=½SABCD→VABC=½SABCД*h=
=SABD*h

Построим сечение прямоугольного параллелепипеда , проходящее через диагонали верхнего и нижнего оснований


Слайд 13 С1
Объем прямой призмы равен произведению площади основания на

С1Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высотуПризма -треугольная:С1Д1, СД-

высоту
Призма -треугольная:
С1Д1, СД- высоты оснований
Vnp=VABD+VBDC (∆AДC;∆BCD- прямоуг-е)
→VABC=SAСD*h+SBCD*h=SABC*h=
=½AВ*СD*h
A
E
D
C
B
h
B1
C1
D1
E1
S1
S2
S3
2. Призма с

произвольным основанием:
Провели непересекающиеся диагонали оснований :АС, АД, А1С1, А1Д1; получили три треугольных призмы.
Vnp=V1+V2+V3=S1*h+S2*h+S3*h=h(S1+S2+S3)=h*Soc

А1





A D B

A1 D1 B1

C1


С


Слайд 14 Ещё раз


V=abc
V=abc
:2
:2
V=abc:2
V=Sc
V=Sh

Ещё разV=abcV=abc:2:2V=abc:2V=ScV=Sh

Слайд 15
Объем цилиндра
Призмы, которые вписаны и описаны около цилиндра,

Объем цилиндраПризмы, которые вписаны и описаны около цилиндра, и если их

и если их основание вписаны и описаны около цилиндра,

то высоты этих призм равны высоте самого цилиндра.



h

r



h

r


Вписанная
призма

Описанная
призма



Слайд 16 Теорема:
Объем цилиндра равен произведению площади основания на

Теорема: Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

высоту.

V=S*h



V=h*S(r)=πR²*h

S(r)=πR²

h


Слайд 17





Доказательство:Впишем в цилиндр правильную n-угольную

Доказательство:
Впишем в цилиндр правильную n-угольную

призму Fn,а в Fn впишем
цилиндр Pn.

Fn=Sn*h где Sn- площадь
основания призмы
Цилиндр Р содержит призму Fn,
которая в свою очередь,
содержит цилиндр Pn.
Тогда Vn< Sn*hБудем увеличивать
число n =>Rn=r cos 180/n*r
при n → +∞
Поэтому: limVn=V
Из неравенства (1) следует,
что LimSn*h=V
Но LimSn=Пr² таким образом
V=Пr²h
Пr ²=S => V=Sh


Цилиндр
P

Цилиндр
Pn

Призма Fn


Слайд 18
Цели :
Научиться применять интегрирование функций в качестве одного

Цели : Научиться применять интегрирование функций в качестве одного из способов

из способов решения задач на нахождение объёмов геометрических тел.
Развитие

логического мышления, пространственного воображения, умений действовать по алгоритму, составлять алгоритмы действий.
Воспитание познавательной активности, самостоятельности.

Слайд 19 Дано :тело Т,αⅡβ, ОХ-ось, ОХ┴α, ОХ┴β
ОХ∩α=a, ОХ∩β=b, а

Дано :тело Т,αⅡβ, ОХ-ось, ОХ┴α, ОХ┴βОХ∩α=a, ОХ∩β=b, а

φ(x)-сечение, φ(x)┴OX, φ(x)∩OX=x






α
β
φ(x)
а
х
в
Х
O
Сечение имеет форму круга либо многоугольника для

любого х € [a;b]

(при х = а и х = b сечение может
вырождаться в точку, как,
например, при х = а на рисунке). Обозначим площадь
фигуры Ф(х) через S(х) и
предположим, что S(х) –
непрерывная функция на
числовом отрезке [a;b].

Разобьем числовой отрезок [a;b] на n равных отрезков Х2-х1=(в-а):n

Если сечение Ф(хi) – круг, то объём тела Ti (заштрихованного на рисунке) приближённо равен объему цилиндра с основанием Фi и высотой Если Ф(хi) – многоугольник, то объём тела Тi приближённо равен объёму прямой призмы с основанием Ф(xi) и высотой ∆xi.









φ(x1)

φ(x2)

φ(xi)

φ(xn)

х1

х2

хi

b=хn

Хi-1






Слайд 20





a
∆хі
b
х
α
β
φ(x)




Приближённое значение Vn
объёма тела Т тем

a∆хіbхαβφ(x)Приближённое значение Vn объёма тела Т тем точнее, чем больше n и, следовательно, меньше ∆xiV=

точнее,
чем больше n и, следовательно,
меньше ∆xi

V=


Слайд 21


A
A1
A2
B
B1
B2
C
C1
C2
O

X
h
X
Объем наклонной призмы
Объем наклонной призмы равен произведению площади

AA1A2BB1B2CC1C2OXhXОбъем наклонной призмыОбъем наклонной призмы равен произведению площади основания на высотуТреугольная

основания на высоту
Треугольная призма
Т.п. имеет S основания и высоту

h.
O=OX∩(АВС); OXᅩ(АВС); (АВС)||(А1В1С1) ;
(А1В1С1)-плоскость сечения: (А1В1С1) ᅩOX

S(x)-площадь сечения; S=S(x), т.к.
(АВС)||(А1В1С1) и ∆ABC=∆A1B1C1(АА1С1С-параллелограмм→АС=А1С1,ВС=В1С1, АВ=А1В1)


Слайд 22

V=V1+V2+V3=
=S1*h+S2*h+S3*h=
=h(S1+S2+S3)=S*h
S1
S2
S3

h
Объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра на

V=V1+V2+V3==S1*h+S2*h+S3*h==h(S1+S2+S3)=S*hS1S2S3hОбъем наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь перпендикулярного ребру

площадь перпендикулярного ребру сечения
2. Наклонная призма с многоугольником в

основании

Слайд 23

h
A
A1
B
B1
C
C1
M(х)
M1
Объем пирамиды
Объем пирамиды равен одной трети произведения площади

hAA1BB1CC1M(х)M1Объем пирамидыОбъем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту1.

основания на высоту
1. Дана треугольная пирамида
O
X
OXᅩ(АВС), OX∩(АВС)=М; OX∩(A1B1C1)=М1
Х- абсцисса

точки М; S(x)-площадь сечения; S-площадь основания

∆ABC∾∆A1B1C1 так, как АВ∥А1В1; АС∥А1С1; ВС∥В1С1
АВ:А1В1=k→ ОА:ОА1=k; аналогично
ВС:В1С1=АС:А1С1=k; S:S(x)=k²;
∆AMO∾∆M1A1O1→OM:OM1=k; ОМ1:ОМ=Х:h
k=Х:h; S:S(x)=(Х:h)²=k²

S(×)=(S*ײ):h²


Слайд 24
S1+ S2+ S3
S1
S2
S3
h
V=1/3*(S1+ S2+ S3)*h
Объем пирамиды, имеющей в

S1+ S2+ S3S1S2S3hV=1/3*(S1+ S2+ S3)*hОбъем пирамиды, имеющей в основании многоугольник.Следствие :

основании многоугольник.
Следствие : Объем усеченной пирамиды, высота которой h,

а площади оснований SuS1 , вычисляется по формуле:









α

α1

φ

φ1

М

М1

O


Слайд 25 Теорема
Объем конуса равен одной трети произведения

Теорема Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.hххOAA1ММ1RR1

площади основания на высоту.




h
х
х
O
A
A1
М
М1
R
R1




Слайд 26 Доказательство
Дано: конус с объемом V,

Доказательство  Дано: конус с объемом V, радиусом основания R, высотой

радиусом основания R, высотой h и вершиной в точке

О.
Введем ось ОХ (ОМ – ось конуса). Произвольное сечение конуса плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ, является кругом с центром в точке М1 - пересечения этой плоскости с осью ОХ.
Обозначим радиус этого круга через R1, а площадь сечения через S(х), где х – абсцисса точки М1.





h

х

х

A

A1

М

М1

R

R1



O

ΔОМА~ΔОМ1А1




Слайд 27 Применяя основную формулу для вычисления объемов

Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а=0, b=h,

тел при а=0, b=h, получаем




h
х
х
A
A1
М
М1
R
R1


O
Площадь S основания конуса равна

ПR², поэтому

Следствие

Объем V усеченного конуса, высота которого равна h, а площади оснований равны S и S1, вычисляется по формуле


Слайд 28






A
М
O
C

х

х
Объем шара
Теорема :Объем шара радиуса R равен 4/3πR³
Дано:

AМOC⍶ххОбъем шараТеорема :Объем шара радиуса R равен 4/3πR³Дано: шар, Rш ;

шар, Rш ; О- центр шара; ОХ – ось

шара; αᅩOX ;М- центр круга сечения; ОС=r; Sсеч. = S (x); х- абсцисса М

Найти : V


S (x)=πr²

S (x)=π(R²-x²)

-R≤ x ≤R

Применяя основную формулу для вычисления объемов имеем :а =-R; b=R

r

R


Слайд 29







A
B
O
C

АВ=h
х
Шаровым сегментом называется часть шара , отсекаемая от

ABOC⍶АВ=hхШаровым сегментом называется часть шара , отсекаемая от него плоскостью. На

него плоскостью. На чертеже два шаровых сегмента- верхний и

нижний. Круг , полученный в сечении – основание сегмента, АВ- высота верхнего сегмента, ВС- высота нижнего сегмента
(оба отрезка –части диаметра АС. ОК=Rш.)

К

Vш. с . =πh²(R-1/3h)

OX ᅩ ⍶

S (x)=πх², где R-h ≤x ≤R
где S (x)- площадь сечения

V=π∫(R²-x²)dx=π(R²x-x³/3)| =πh²(R-1/3h)

R

R-h

R-h

R

По определению правила вычислению объемов a=R-h; b=R

S (x)- непрерывная функция на [a; b]

h


Слайд 30



Шаровой слой
A
B
C





Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между

Шаровой слойABCШаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя секущими параллельными

двумя секущими параллельными плоскостями.
Круги , полученные в сечениях- основания

шарового слоя, расстояние между этими плоскостями- высота шарового слоя.

Объем шарового слоя – разность объемов двух шаровых сегментов с высотой АС и АВ.


  • Имя файла: obyomy-prostranstvennyh-figur.pptx
  • Количество просмотров: 206
  • Количество скачиваний: 3