Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему История теоремы Пифагора

Содержание

История теоремыПифагора
 “Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а История теоремыПифагора Хронология развития теоремы до Пифагора: Исторический обзор начнём с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² Очень легко можно воспроизвести способ построения. Возьмём верёвку длиною в Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод: В самом древнем индийском геометрическом сборнике «Сульвасутра» («Правила верёвки», 600 В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Насчитывается более пятисот доказательств теоремы. Благодаря такому количеству доказательств теорема Пифагора попала Приведём различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков. У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):  Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) теорема читается так: Also, В первом русском переводе евклидовых Существует три формулировки теоремы Пифагора:1. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы И СПОСОБЫ ЕЁ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА Теорема Пифагора – важнейшее утверждение геометрии. Даже те, кто в ГИПОТЕНУЗАКАТЕТКАТЕТЭто прямоугольный треугольник На этом свойстве прямоугольного треугольника и основана теорема Пифагора. Она показывает зависимость 1. Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур.  Здесь вы можете Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах. Доказательство Пифагора Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, 2. Аддитивные доказательства. Аддитивные доказательства - это доказательства, которые основаны на разложении Доказательство Эпштейна Дано: ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом С; С∈EF; PO||EF; 3. Доказательства методом  построения  Здесь вы найдете доказательства, для осуществления которых использовались дополнительные построения. 1. Построим треугольник ABC с прямым углом С.Доказательство Гофмана2. Построим BF=CB, BF⊥CB3. Что и требовалось доказать!6. Как мы видим, четырёхугольники ADFB и ACBE равновелики, 4. Алгебраический метод доказательстваЭти доказательства, основанные на применении в геометрии алгебраических формул. Доказательство Мёльманна1. Площадь данного треугольника с одной стороны равна 0,5ab, Что и требовалось доказать!2. Имеем: 0,5ab=0,5pr=0,5(a+b+c)·0,5(a+b-c)0,5ab=0,5(a+b+c)·0,5(a+b-c)аb=0,5(а2 + ab – ac + ab 5. Доказательства методом разложенияПростейшие доказательства теоремы, для понимания которых достаточно одного взгляда Доказательство ПеригаляДоказательство Перигаля очень легкое. Два квадрата, построенные на катетах, расположены рядом. 6. Доказательство методом вычитания  Наряду с доказательствами На рисунке к обычной пифагоровой фигуре приставлены сверху и снизу треугольники 2 7. Другие доказательства. Доказательство с помощью косинуса угла. Пусть АВС – данный Занимательные задачи по теме: Над озером тихимС полфута размеромВысился лотоса цвет.Он рос одиноко, И ветер порывомОтнёс Какова глубина в современных единицах  длины (1 фут приближённо  равен На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол Задача Бхаскары Решение. Пусть CD – высота ствола.BD = АВПо теореме Пифагора имеем На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Решение Итак, в треугольнике АDВ: АВ2 =ВD2 +АD2 АВ2=302 +Х2АВ2=900+Х2;в треугольнике АЕС: АС2=   Практическое применение теоремы Пифагора Диагональ d квадрата со стороной а можно рассматривать как гипотенузу Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b вычисляется подобно тому, как На рисунке изображен куб, внутри которого проведена диагональ d, являющаяся одновременно гипотенузой Рассуждение, подобное этому, можно провести и для прямоугольного параллелепипеда с ребрами a, Считать приложения теоремы Пифагора только теоретическими - большая ошибка. В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Пифагоровы тройки Изучение свойств натуральных чисел привело пифагорейцев к ещё одной «вечной» Сегодня эта задача именуется задачей Пифагора, а её решения — Эти тройки можно найти по формулам: b=(a2-1)/2, c=(a2+1)/2. Пифагоровы числа обладают рядом Древневавилонский клинописный текст, содержащий 15 наборов пифагоровых троек, среди которых (четвёртая строка) И тем не менее вопрос об общем решении уравнения (а2+b2=c2) Теорема ПифагораВ литературе Многие при имени Пифагор вспоминают его теорему. Но неужели мы Родился Пифагор где-то между 600 и 590 гг. до Рождества За 1000 лет античной традиции реальные и вызывающие глубокое уважение Порфирий рассказывает о Пифагоре такую историю: в «Таренте он увидел Диоген Лаэртский, например, рассказывает так: «Появившись в Италии, Пифагор устроил Много ещё различных чудес можно было бы рассказать о Пифагоре. Пифагор- это не только великий математик, но и великий мыслитель Мысль — превыше всего между людьми на земле. Не садись на хлебную Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Прокл, О теореме Пифагора Уделом истины не может быть забвенье,Как только мир её увидит Так, оптимист Михайло Ломоносов (1711-1765) писал: «Пифагор за изобретение одного А вот ироничный Генрих Гейне (1797-1856) видел развитие той же Когда был подожжён дом Милона, где собрались пифагорейцы, когда стали Фрагмент фильма «Приключения Электроника»Ералаш Эпилог.Вечный кладезь мудрости. Учение Пифагора не погибло в кротонском пожаре. Подобранные горсткой оставшихся И чем дальше неумолимое время уносит нас от времени Пифагора, Именно так определяет роль Пифагора в истории естествознания современный В Абдерах в 430—420-х гг. до н. э. (т. е. Самосская монета с изображением Пифагора. II-III вв. Прорисовка. Конечно, это Но для учёного важнее не внешние атрибуты славы, а Заложенная Пифагором вера в красоту и гармонию природы, в мудрую  “Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а
Слайды презентации

Слайд 2 История теоремы
Пифагора

История теоремыПифагора

Слайд 3 Хронология развития теоремы
до Пифагора:

Хронология развития теоремы до Пифагора:

Слайд 4 Исторический обзор начнём с древнего Китая.

Исторический обзор начнём с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает

Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом

сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:
"Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".


Слайд 5 Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает,

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ²

что равенство
3 ² + 4 ² = 5²

было известно уже египтянам ещё около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея).
По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Слайд 6 Очень легко можно воспроизвести способ построения.

Очень легко можно воспроизвести способ построения. Возьмём верёвку длиною в

Возьмём верёвку длиною в 12 м и привяжем к

ней по цветной полоске на расстоянии 3 и 4 м от одного конца. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра.

Слайд 7 Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод:

Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод:

"Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и

пифагорейцы, является не открытие математики, но её систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку."


Слайд 8 В самом древнем индийском геометрическом сборнике

В самом древнем индийском геометрическом сборнике «Сульвасутра» («Правила верёвки», 600

«Сульвасутра» («Правила верёвки», 600 год до н.э.), представляющем собой

своеобразную инструкцию по сооружению алтарей в храмах, даются правила построения прямых углов при помощи верёвки с узлами, расстояния между которыми равны 15, 36 и 39 падас (мера длины).


Слайд 9 В настоящее время известно, что эта

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта

теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что

Пифагор первым дал её полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал".

Слайд 10 Насчитывается более пятисот доказательств теоремы. Благодаря такому количеству

Насчитывается более пятисот доказательств теоремы. Благодаря такому количеству доказательств теорема Пифагора

доказательств теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса как

теорема с наибольшим количеством доказательств. Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана.
 


Слайд 11 Приведём различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с

Приведём различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков.

греческого, латинского и немецкого языков.


Слайд 12 У Евклида эта теорема гласит (дословный

У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):

перевод):
"В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой

над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".

Евклид. Гравюра на меди. Примерно XVIII в.


Слайд 13 Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около

Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н.

900 г. до н. э.), сделанный Герхардом Кремонским (начало

12 в.), в переводе на русский гласит:
"Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол".


Слайд 14 В Geometria Culmonensis (около 1400 г.)

В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) теорема читается так: Also,

теорема читается так: Also, wird das vierecke Feld, gemessen

an der langen Wand, so also gross ist als bei beide Vierecke, bei zwei werden gemessen von den zwei Wanden des deren, bei zwei gemeinde, tretten in dem rechten Winkel.
В переводе это означает:
"Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу".


Слайд 15 В первом русском переводе евклидовых "Начал",

В первом русском переводе евклидовых

сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так:

"В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол".

Чертёж к теореме Пифагора в средневековой арабской рукописи


Слайд 16 Существует три формулировки теоремы Пифагора:
1. В

Существует три формулировки теоремы Пифагора:1. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы

прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
2. Площадь

квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
3. Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равносоставлен с квадратами, построенными на катетах.
 
 


Слайд 17
И СПОСОБЫ ЕЁ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

И СПОСОБЫ ЕЁ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

Слайд 18
Теорема Пифагора – важнейшее утверждение геометрии.

Теорема Пифагора – важнейшее утверждение геометрии. Даже те, кто в

Даже те, кто в своей жизни навсегда «распрощался» с

математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах». Причина такой популярности теоремы Пифагора объясняется её простотой, красотой, значимостью.


Слайд 19
ГИПОТЕНУЗА
КАТЕТ
КАТЕТ
Это прямоугольный треугольник


ГИПОТЕНУЗАКАТЕТКАТЕТЭто прямоугольный треугольник

Слайд 20 На этом свойстве прямоугольного треугольника и основана теорема

На этом свойстве прямоугольного треугольника и основана теорема Пифагора. Она показывает

Пифагора. Она показывает зависимость между гипотенузой и катетами прямоугольного

треугольника.

Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим —
И таким простым путем
К результату мы придём.


Слайд 21 1. Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур.

1. Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур. Здесь вы можете

Здесь вы можете увидеть доказательство теоремы Пифагора, которое

основано на равновеликости фигур, из которых они состоят. Это доказательство считается одними из самых простых из-за своей наглядности.


Слайд 22









Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме

Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах. Доказательство Пифагора

квадратов, построенных на его катетах.
Доказательство Пифагора


Слайд 23 Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме

Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов,

квадратов, построенных на его катетах.
Почтовая марка

по случаю переименования острова Самос в остров Пифагорейон. На марке надпись: « т.Пифагора. Эллас. 350 драхи».

Слайд 24 2. Аддитивные доказательства.

Аддитивные доказательства - это доказательства,

2. Аддитивные доказательства. Аддитивные доказательства - это доказательства, которые основаны на

которые основаны на разложении квадратов, построенных на катетах, на

фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе.
 


Слайд 25 Доказательство Эпштейна
 Дано: ABC - прямоугольный треугольник с прямым

Доказательство Эпштейна Дано: ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом С; С∈EF;

углом С; С∈EF; PO||EF; MN||EF; CD⊥EF.
Доказать: квадрат на гипотенузе

равен сумме квадратов, построенных на катетах
Доказательство.
Треугольники 1 совпадают при повороте друг друга на 90° ⇒ они равны.
Треугольники 2 совпадают при осевом отображении относительно оси EF и параллельном переносе, т.е. они тоже равны.
При параллельных переносах и поворотах совпадают и все остальные треугольники, т.е. они тоже равны между собой.
Из всего этого следует, что квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов, построенных на катетах.
Теорема доказана.


Слайд 26 3. Доказательства методом построения

Здесь вы

3. Доказательства методом построения  Здесь вы найдете доказательства, для осуществления которых использовались дополнительные построения.

найдете доказательства, для осуществления которых использовались дополнительные построения.


Слайд 27 1. Построим треугольник ABC с прямым углом С.
Доказательство

1. Построим треугольник ABC с прямым углом С.Доказательство Гофмана2. Построим BF=CB,

Гофмана
2. Построим BF=CB, BF⊥CB

3. Построим BE=AB, BE⊥AB

4. Построим AD=AC,

AD⊥AC

5. Точки F, C, D принадлежат одной прямой.



Слайд 28 Что и требовалось доказать!

6. Как мы видим, четырёхугольники

Что и требовалось доказать!6. Как мы видим, четырёхугольники ADFB и ACBE

ADFB и ACBE равновелики, т.к. ABF= ЕCB. Треугольники

ADF и ACE равновелики.
7. Отнимем от обоих равновеликих четырёхугольников общий для них треугольник ABC, получим:
1/2а2+1/2b 2=1/2с 2
8. Соответственно:
а2+ b 2 =с 2






Доказательство Гофмана



a


Слайд 29 4. Алгебраический метод доказательства

Эти доказательства, основанные на применении

4. Алгебраический метод доказательстваЭти доказательства, основанные на применении в геометрии алгебраических

в геометрии алгебраических формул. Это достаточно легкие доказательства, не

требующие никаких дополнительных построений.



Слайд 30 Доказательство Мёльманна
1. Площадь данного треугольника с одной стороны

Доказательство Мёльманна1. Площадь данного треугольника с одной стороны равна 0,5ab,

равна 0,5ab,
с другой 0,5pr, где
p

– полупериметр треугольника,
r – радиус вписанной в него окружности (r=0,5(a+b-c)).

Слайд 31 Что и требовалось доказать!

2. Имеем: 0,5ab=0,5pr=0,5(a+b+c)·0,5(a+b-c)
0,5ab=0,5(a+b+c)·0,5(a+b-c)
аb=0,5(а2 + ab

Что и требовалось доказать!2. Имеем: 0,5ab=0,5pr=0,5(a+b+c)·0,5(a+b-c)0,5ab=0,5(a+b+c)·0,5(a+b-c)аb=0,5(а2 + ab – ac +

– ac + ab + b2 – bc +

ca + cb - с2)
аb=0,5(а2 + b2- с2 +2ab)/·2
2аb=а2 + b2- с2 +2ab
а2 + b2- с2 =0

3. Отсюда следует, что с2= а2+b2

Доказательство Мёльманна


Слайд 32 5. Доказательства методом разложения
Простейшие доказательства теоремы, для понимания

5. Доказательства методом разложенияПростейшие доказательства теоремы, для понимания которых достаточно одного

которых достаточно одного взгляда на чертёж. Мы предлагаем несколько

доказательств, которые не требуют пояснений. Это доказательства способом разложения квадратов на катетах и гипотенузе на отдельные фигуры.


Слайд 33 Доказательство Перигаля
Доказательство Перигаля очень легкое. Два квадрата, построенные

Доказательство ПеригаляДоказательство Перигаля очень легкое. Два квадрата, построенные на катетах, расположены

на катетах, расположены рядом. Надо разделить эту фигуру всего

на 3(!) части, чтобы сложить из них квадрат на гипотенузе. На иллюстрации наглядно дано это разрезание.


Слайд 34 6. Доказательство методом вычитания
Наряду с доказательствами

6. Доказательство методом вычитания Наряду с доказательствами методом сложения

методом сложения можно привести примеры доказательств при помощи вычитания,

называемых также доказательствами методом дополнения. Общая идея таких доказательств заключается в следующем. Доказательства методом вычитания - доказательства при помощи вырезания определенных фигур из равных по площади частей.


Слайд 35 На рисунке к обычной пифагоровой фигуре приставлены сверху

На рисунке к обычной пифагоровой фигуре приставлены сверху и снизу треугольники

и снизу треугольники 2 и 3, равные исходному треугольнику

1.


Прямая DG обязательно пройдет через C. Заметим теперь, что шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики. Если мы от первого из них отнимем треугольники 1 и 2, то останутся квадраты, построенные на катетах, а если от второго шестиугольника отнимем равные треугольники 1 и 3, то останется квадрат, построенный на гипотенузе. Отсюда вытекает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.


Слайд 36 7. Другие доказательства. Доказательство с помощью косинуса угла.
Пусть АВС

7. Другие доказательства. Доказательство с помощью косинуса угла. Пусть АВС –

– данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем

высоту СD из вершины прямого угла С. По определению косинуса угла cosA=AD/AC=AC/AB.
Отсюда АВ*AD=AC*АС.
 Аналогично cos B=BD/BC=BC/AB. Отсюда АВ*BD=BC*BC.
Складывая полученные результаты почленно и замечая, что AD+DB=AB, получим:
AC*AC + BC*BC = AB*AB. Теорема доказана.


Слайд 37 Занимательные задачи по теме: "Теорема Пифагора".

Занимательные задачи по теме:

Слайд 38 Над озером тихим
С полфута размером
Высился лотоса цвет.
Он рос

Над озером тихимС полфута размеромВысился лотоса цвет.Он рос одиноко, И ветер

одиноко,
И ветер порывом
Отнёс его в сторону. Нет
Боле цветка

над водой.
Нашёл же рыбак его
Ранней весною
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:
“Как озера вода здесь глубока?”

Древнеиндийская задача


Слайд 39 Какова глубина в современных единицах длины (1 фут

Какова глубина в современных единицах длины (1 фут приближённо равен 0,3

приближённо равен 0,3 м) ?
 
Решение.
Выполним чертёж к

задаче и обозначим глубину озера АС =Х, тогда AD = AB = Х + 0,5 .
Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB2 – AC2 = BC2,
(Х + 0,5)2 – Х2 = 22 ,
Х2 + Х + 0,25 – Х2 = 4,
Х = 3,75.
Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута.
3, 75 • 0,3 = 1,125 (м)
Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м.


Слайд 40 На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра

На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его

порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол

прямой с теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река в четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки, осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика высота?

Задача индийского
математика XII в. Бхаскары  


Слайд 41 Задача Бхаскары
Решение.
 
Пусть CD – высота ствола.
BD =

Задача Бхаскары Решение. Пусть CD – высота ствола.BD = АВПо теореме Пифагора

АВ
По теореме Пифагора имеем АВ = 5

.
CD = CB + BD,
CD = 3 + 5 =8.
Ответ: 8 футов.

Слайд 42 На обоих берегах реки растет по

На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой.

пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой

– 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли её одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

Задача арабского математика XI в


Слайд 43 Решение
 
Итак, в треугольнике АDВ: АВ2 =ВD2 +АD2
АВ2=302

Решение Итак, в треугольнике АDВ: АВ2 =ВD2 +АD2 АВ2=302 +Х2АВ2=900+Х2;в треугольнике АЕС:

+Х2
АВ2=900+Х2;
в треугольнике АЕС: АС2= СЕ2+АЕ2
АС2=202+(50 – Х)2
АС2=400+2500 –

100Х+Х2
АС2=2900 – 100Х+Х2.
Но АВ=АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния за одинаковое время.
Поэтому АВ2 =АС2 ,
900+Х2 =2900 – 100Х+Х2,
100Х=2000,
Х=20,
АD=20.
Значит, рыба была на расстоянии 20 локтей от большой пальмы.

Ответ: 20 локтей.


Слайд 44 "Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены

же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу

долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать."
 

Задача из учебника
"Арифметика" Леонтия Магницкого


Слайд 45  "Имеется водоем со стороной в 1 чжан =

 

10 чи. В центре его растет камыш, который выступает

над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его.
Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша? "

Задача из китайской
"Математики в девяти книгах"


Слайд 46 Практическое применение
теоремы Пифагора

Практическое применение теоремы Пифагора

Слайд 47 Диагональ d квадрата со стороной а

Диагональ d квадрата со стороной а можно рассматривать как гипотенузу

можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом

а. Таким образом:
d2=2a², d= a.


Слайд 48 Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b

Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b вычисляется подобно тому,

вычисляется подобно тому, как вычисляется гипотенуза прямоугольного треугольника с

катетами a и b. Мы имеем d²=a²+b² .
d=

Слайд 49 На рисунке изображен куб, внутри которого проведена диагональ

На рисунке изображен куб, внутри которого проведена диагональ d, являющаяся одновременно

d, являющаяся одновременно гипотенузой прямоугольного треугольника, заштрихованного на рисунке.

Катетами треугольника служат ребро куба и диагональ квадрата, лежащего в основании (как указывалось ранее, длина диагонали равна а). Отсюда имеем d2 = a2+( а)2, d2=3a2, d= a.


Слайд 50 Рассуждение, подобное этому, можно провести и для прямоугольного

Рассуждение, подобное этому, можно провести и для прямоугольного параллелепипеда с ребрами

параллелепипеда с ребрами a, b, с и получить для

диагонали выражение
d =


Слайд 51 Считать приложения теоремы Пифагора только

Считать приложения теоремы Пифагора только теоретическими - большая ошибка.

теоретическими - большая ошибка. Заметим, что расчёт площади кровли

можно заметно упростить, если воспользоваться одним очень простым правилом, справедливым во всех случаях, когда все скаты крыши, сколько бы их ни было, имеют одинаковый уклон. Оно гласит: "Чтобы найти поверхность крыши, все скаты которой имеют равный уклон, нужно умножить перекрываемую площадь на длину какого-нибудь стропила и разделить полученное произведение на проекцию этого стропила на перекрываемую площадь."


Слайд 52 В романской архитектуре часто встречается мотив,

В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если

представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна,

то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и
r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром p=b/6.

Слайд 53 В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные

В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей

предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку, это явилось

следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли.
Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все ещё ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора.
Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора, имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.
 


Слайд 54 Пифагоровы тройки

Пифагоровы тройки

Слайд 55 Изучение свойств натуральных чисел привело пифагорейцев

Изучение свойств натуральных чисел привело пифагорейцев к ещё одной «вечной»

к ещё одной «вечной» проблеме теоретической арифметики (теории чисел)

— проблеме, ростки которой пробивались задолго до Пифагора в Древнем Египте и Древнем Вавилоне, а общее решение не найдено и поныне. Начнем с задачи, которую в современных терминах можно сформулировать так: решить в натуральных числах неопределенное уравнение
а2+b2=c2.


Слайд 56 Сегодня эта задача именуется задачей Пифагора,

Сегодня эта задача именуется задачей Пифагора, а её решения —

а её решения — тройки натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению

(а2+b2=c2)— называются пифагоровыми тройками. В силу очевидной связи теоремы Пифагора с задачей Пифагора последней можно дать геометрическую формулировку: найти все прямоугольные треугольники с целочисленными катетами а, b и целочисленной гипотенузой c.

Слайд 57 Эти тройки можно найти по формулам: b=(a2-1)/2, c=(a2+1)/2.
Пифагоровы числа

Эти тройки можно найти по формулам: b=(a2-1)/2, c=(a2+1)/2. Пифагоровы числа обладают

обладают рядом интересных особенностей, которые мы перечислим без доказательств:

Один из «катетов» должен быть кратным трём.
Один из «катетов» должен быть кратным четырём.
Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти.

Слайд 58 Древневавилонский клинописный текст, содержащий 15 наборов пифагоровых троек,

Древневавилонский клинописный текст, содержащий 15 наборов пифагоровых троек, среди которых (четвёртая

среди которых (четвёртая строка) есть тройка 12709, 13500, 18541:


12709 + 13500 = 18541.








Нью-Йорк. Плимптоновский фонд библиотеки
Колумбийского университета.

Слайд 59 И тем не менее вопрос об

И тем не менее вопрос об общем решении уравнения (а2+b2=c2)

общем решении уравнения (а2+b2=c2) в натуральных числах был поставлен

и решён только пифагорейцами. Общая постановка, какой бы то ни было математической задачи, была чужда как древним египтянам, так и древним вавилонянам. Только с Пифагора начинается становление математики как дедуктивной науки, и одним из первых шагов на этом пути было решение задачи о пифагоровых тройках. Первые решения уравнения (а2+b2=c2) античная традиция связывает с именами Пифагора и Платона.


Слайд 60 Теорема Пифагора
В литературе

Теорема ПифагораВ литературе

Слайд 61 Многие при имени Пифагор вспоминают его

Многие при имени Пифагор вспоминают его теорему. Но неужели мы

теорему. Но неужели мы можем встречать эту теорему только

в геометрии? Нет, конечно, нет! Теорема Пифагора встречается в разных областях наук. Например: в физике, астрономии, архитектуре и в других. Но так же Пифагор и его теорема воспеты в литературе.
Существуют много легенд, мифов, рассказов, песен, притчей, небылиц об этой теореме и его авторе.


Слайд 62 Родился Пифагор где-то между 600 и

Родился Пифагор где-то между 600 и 590 гг. до Рождества

590 гг. до Рождества Христова и жил около ста

лет. Много странных легенд дошло до наших дней о его рождении. Некоторые из них утверждают, что он не был обычным смертным человеком, а был одним из богов, принявших человеческий облик для того, чтобы войти в мир и учить человечество.

Бог-Творец
как геометр

Легенда о рождении Пифагора


Слайд 63 За 1000 лет античной традиции реальные

За 1000 лет античной традиции реальные и вызывающие глубокое уважение

и вызывающие глубокое уважение к личности Пифагора сведения были

перемешаны со множеством легенд, сказок и небылиц. Легенды наперебой объявляли Пифагора чудотворцем; сообщали, что у него было золотое бедро, что люди видели его одновременно в двух разных городах говорящим со своими учениками, что однажды, когда он с многочисленными спутниками переходил реку и заговорил с ней, река вышла из берегов и громким сверхчеловеческим голосом воскликнула: «Да здравствует Пифагор!», что в Тиррении он умертвил своим укусом ядовитую змею, унесшую жизни многих тирренцев, что он предсказывал землетрясения, останавливал повальные болезни, отвращал ураганы, укрощал морские волны.

Легенда о Пифагоре


Слайд 64 Порфирий рассказывает о Пифагоре такую историю:

Порфирий рассказывает о Пифагоре такую историю: в «Таренте он увидел

в «Таренте он увидел быка на разнотравье, жевавшего зеленые

бобы, подошел к пастуху и посоветовал сказать быку, чтобы тот этого не делал. Пастух стал смеяться и сказал, что не умеет говорить по-бычьи; тогда Пифагор сам подошел к быку и прошептал ему что-то на ухо, после чего тот не только тут же пошел прочь от бобовника, но и более никогда не касался бобов, а жил с тех пор и умер в глубокой старости в Таренте при храме Геры, где слыл священным быком и кормился хлебом, который давали ему прохожие».

Слайд 65 Диоген Лаэртский, например, рассказывает так: «Появившись

Диоген Лаэртский, например, рассказывает так: «Появившись в Италии, Пифагор устроил

в Италии, Пифагор устроил себе жилье под землей, а

матери велел записывать на дощечках всё, что происходит и когда, а дощечки спускать к нему, пока он не выйдет. Мать так и делала; а Пифагор, выждав время, вышел, иссохший, как скелет, предстал перед народным собранием и заявил, будто пришел из Аида, а при этом прочитал им обо всём, что с ними случилось. Все были потрясены прочитанным, плакали и рыдали, а Пифагора почли Богом. И тем не менее основной тон всех преданий о Пифагоре был один:
«Ни о ком не говорят так много и так необычайно» (Порфирий).

Слайд 66 Много ещё различных чудес можно было

Много ещё различных чудес можно было бы рассказать о Пифагоре.

бы рассказать о Пифагоре. Но главное «чудо», прославившее в

веках имя великого эллина, было в другом. Это чудо Пифагора состояло в том, что он вывел человечество из лабиринтов мифотворчества и богоискательства к берегам океана точного знания. Утренние купания пифагорейцев в волнах Ионического моря были и ежедневной прелюдией к плаванию по океану знания. Только целью плавания на сей раз были не поиски золотого руна, а поиски сокровища, куда более ценного. То были поиски истины.
 

Слайд 67 Пифагор- это не только великий математик,

Пифагор- это не только великий математик, но и великий мыслитель

но и великий мыслитель своего времени. Познакомимся с некоторыми

его философскими высказываниями…

Пифагор. Гравюра из старинной книги.


Слайд 68 Мысль — превыше всего между людьми на земле.

Мысль — превыше всего между людьми на земле. Не садись на

Не садись на хлебную меру (т. е. не живи

праздно).
По торной дороге не ходи (т. е. следуй не мнениям толпы, а мнениям немногих понимающих).
Ласточек в доме не держи (т. е. не принимай гостей болтливых и не сдержанных на язык).
Будь с тем, кто ношу взваливает, не будь с тем, кто ношу сваливает (т. е. поощряй людей не к праздности, а к добродетели, к труду).
В перстне изображений не носи (т. е. не выставляй напоказ перед людьми, как ты судишь и думаешь о богах).


Слайд 69
Открытие теоремы Пифагором окружено

Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя

ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение I книги

«Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придётся сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого открытия принёс в жертву быка». Впрочем, более щедрые сказители одного быка превратили в одну гекатомбу, а это уже целая сотня. И хотя ещё Цицерон заметил, что всякое пролитие крови было чуждо уставу пифагорейского ордена, легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через две тысячи лет продолжала вызывать горячие отклики.

Легенды об открытии
теоремы Пифагора


Слайд 70 О теореме Пифагора
 
Уделом истины не может быть забвенье,
Как

О теореме Пифагора Уделом истины не может быть забвенье,Как только мир её

только мир её увидит взор,
И теорема та, что дал

нам Пифагор,
Верна теперь, как в день её рожденья.
За светлый луч с небес вознес благодаренье
Мудрец богам не так, как было до тех пор.
Ведь целых сто быков послал он под топор,
Чтоб их сожгли как жертвоприношенье.
Быки с тех пор, как только весть услышат,
Что новой истины уже следы видны,
Отчаянно мычат и ужаса полны:
Им Пифагор навек внушил тревогу.
Не в силах преградить той истине дорогу,
Они, закрыв глаза, дрожат и еле дышат.

Суть истины вся в том, что нам она-навечно,
Когда хоть раз в прозрений её увидим свет,
И теорема Пифагора через столько лет
Для нас, как для него, бесспорна, безупречна.
На радостях богам был Пифагором дан обет:
За то, что мудрости коснулся бесконечной,
Он сто быков заклал, благодаря предвечных;
Моленья и хвалы вознес он жертве вслед.
С тех пор быки, когда, учуют, тужась,
Что к новой истине людей опять подводит след,
Ревут остервенело, так что слушать мочи нет,
Такой в них Пифагор вселил навеки ужас,
Быкам, бессильным новой правде противостоять,
Что остается? - Лишь, глаза закрыв, реветь, дрожать.


Слайд 71 Так, оптимист Михайло Ломоносов (1711-1765) писал:

Так, оптимист Михайло Ломоносов (1711-1765) писал: «Пифагор за изобретение одного

«Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевесу принёс в

жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в целом свете столько рогатого скота сыскалось».


Слайд 72 А вот ироничный Генрих Гейне (1797-1856)

А вот ироничный Генрих Гейне (1797-1856) видел развитие той же

видел развитие той же ситуации несколько иначе: «Кто знает!

Кто знает! Возможно, душа Пифагора переселилась в беднягу кандидата, который не может доказать теорему Пифагора и провалился из-за этого на экзаменах, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех быков, которых Пифагор, обрадованный открытием своей теоремы, принёс в жертву бессмертным богам».


Слайд 73 Когда был подожжён дом Милона, где

Когда был подожжён дом Милона, где собрались пифагорейцы, когда стали

собрались пифагорейцы, когда стали рушиться подпорки и перекрытия, державшие

крышу, Пифагор в задумчивости сидел в центре большой залы. Великий мудрец и не помышлял сделать хоть одно движение к своему спасению. Тогда ученики Пифагора бросились в огонь и проложили в нем дорогу учителю, чтобы он по их телам, как по мосту, вышел из объятого пламенем дома. Пифагора спасли, но страшной ценой—ценой жизней его единомышленников. Оставшись один, Пифагор так затосковал, что удалился из города и там лишил себя жизни. Жизнь без продолжателей учения была для Пифагора лишена смысла.

Легенды
о смерти Пифагора


Слайд 74

Фрагмент фильма «Приключения Электроника»
Ералаш

Фрагмент фильма «Приключения Электроника»Ералаш

Слайд 75 Эпилог.
Вечный кладезь
мудрости.

Эпилог.Вечный кладезь мудрости.

Слайд 76 Учение Пифагора не погибло в кротонском

Учение Пифагора не погибло в кротонском пожаре. Подобранные горсткой оставшихся

пожаре. Подобранные горсткой оставшихся в живых учеников зерна этого

учения не только были сохранены, но и дали обильные всходы. Благодарная память единомышленников сохранила для человечества имя Пифагора — выдающегося математического гения, творца акустики, основоположника теории музыки, «Коперника древней астрономии», основателя религиозного братства — прообраза средневековых монашеских орденов, богослова и реформатора, человека высокой нравственности, личности богатой, противоречивой и загадочной, стоящей на рубеже пробуждающейся науки и пышно цветущей мифологии.


Слайд 77 И чем дальше неумолимое время уносит

И чем дальше неумолимое время уносит нас от времени Пифагора,

нас от времени Пифагора, тем острее видится поразительная прозорливость

эллинского мудреца, объявившего два с половиной тысячелетия назад, что «Всё есть число». Если снять с этого тезиса мистическую паутину, то нам откроется гениальное пророчество, определившее весь последующий путь развития науки. Тогда древний пифагорейский тезис примет современное звучание: математика есть ключ к познанию всех тайн природы.


Слайд 78 Именно так определяет роль Пифагора

Именно так определяет роль Пифагора в истории естествознания современный

в истории естествознания современный американский математик и историк науки

М. Клайн: «Но то ли по счастливому стечению обстоятельств, то ли благодаря гениальной интуиции пифагорейцам удалось сформулировать два тезиса, общезначимость которых подтвердило всё последующее развитие науки: во-первых, что основополагающие принципы, на которых зиждется мироздание, можно выразить на языке математики; во-вторых, что объединяющим началом всех вещей служат числовые отношения, которые выражают гармонию и порядок природы».


Слайд 79 В Абдерах в 430—420-х гг. до

В Абдерах в 430—420-х гг. до н. э. (т. е.

н. э. (т. е. менее чем через 100 лет

после смерти Пифагора) произошло невиданное событие: в Абдерах были выпущены монеты с изображением Пифагора и подписью. Абдерские монеты — это не только первый в истории чеканный портрет философа, но это и первое на греческих монетах подписанное изображение человека. И таким человеком оказался не царь, не тиран, не полководец, а мудрец! Что касается Пифагора-математика, то он, видимо, навсегда останется первым и последним математиком в истории человечества, чей профиль удостоился столь высокой чести!


Слайд 80 Самосская монета с изображением Пифагора. II-III

Самосская монета с изображением Пифагора. II-III вв. Прорисовка. Конечно, это

вв. Прорисовка. Конечно, это не портрет Пифагора, а обобщённый

образ учёного.


Слайд 81 Но для учёного важнее не

Но для учёного важнее не внешние атрибуты славы, а

внешние атрибуты славы, а признание и дальнейшая жизнь его

идей. И здесь Пифагору также светила счастливая звезда. Идеями Пифагора пронизано творчество Платона — величайшего философа в истории человечества. Плотин, Порфирий, Ямвлих, Прокл, первая женщина философ и математик Гипатия, растерзанная толпой фанатиков-христиан,— все они были страстными приверженцами Пифагора. Неоплатонизм, уходящий корнями в древнее пифагорейство, стал мощным философским течением, идущим из античности в современность. Идеи неоплатоников питали Аврелия Августина (354—430) и Иоанна Скота Эриугену (810—877), Николая Кузанского (1401 —1464) и Джероламо Кардано (1501 —1576), Томмазо Кампанеллу (1568—1639) и Джордано Бруно (1548—1600), Фридриха Шеллинга (1775— 1854) и Георга Гегеля (1770—1831), Владимира Соловьева (1853—1900) и Сергея Булгакова (1871 —1944), Павла Флоренского (1882—1937?) и Алексея Лосева (1893—1988).


Слайд 82 Заложенная Пифагором вера в красоту и

Заложенная Пифагором вера в красоту и гармонию природы, в мудрую

гармонию природы, в мудрую простоту и целесообразность её законов,

построенных на единых математических принципах, окрыляла творчество титанов современного естествознания от Иоганна Кеплера (1571 —1630) до Альберта Эйнштейна (1879—1955). Это и есть путеводная звезда современного естествознания, тот вечный кладезь мудрости, который открыл человечеству Пифагор.


  • Имя файла: istoriya-teoremy-pifagora.pptx
  • Количество просмотров: 168
  • Количество скачиваний: 0