Презентация на тему Задачи на геометрическую прогрессию

Слайд 1 Алгебра, 9 класс
Геометрическая прогрессия

---

Слайд 2 Цель урока : сформировать у учащихся понятие геометрической прогрессии и

научиться применять формулы Г. П. к решению практических задач.

Задачи урока

Изучить геометрическую прогрессию с помощью примеров
Вывести формулы для вычислений данных Г. П.
Рассмотреть решение задач на нахождения членов прогрессии
Научиться применять формулы Г. П. к решению практических задач.

---

Слайд 3 Содержание
Определение геометрической прогрессии
Знаменатель геометрической прогрессии
Примеры задания

Г. П.
Формула Формула nФормула n-го члена Г. П.
Решение задач :

задача 1
задача 2
задача 3
задача 4

Итог урока

---

Слайд 4 Пример геометрической прогрессии
Каждый член этой последовательности, начиная со второго, получается

умножением предыдущего члена на 2.

 Эта последовательность является примером геометрической прогрессии.

Рассмотрим последовательность, членами которой являются степени числа 2 с натуральными показателями:
2, 22, 23, 24, 25, ... .

---

Слайд 5 Определение геометрической прогрессии
Определение. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел,

каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.
Иначе говоря, (bn) - геометрическая последовательность, bn ≠ 0 и q - некоторое число, то
bn+1=bn∙q.

---

Слайд 6 В нашей последовательности степеней числа 2
q =2 и bn+1=bn∙2.
Из

определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого её члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно q.
bn+1/bn = q
Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.

---

Слайд 7 Примеры задания геометрической прогрессии
1. Если b1= 1 и q = 0,1,

то получим геометрическую прогрессию
1; 0,1; 0,01; 0,001; ...

2. Если b1= - 5 и q = 2, то геометрическая прогрессия получится следующая
-5; -10; -20; -40; ...

---

Слайд 8 Формула n-го члена геометрической прогрессии
Зная первый член и знаменатель Г.П., можно

найти любой член последовательности:





Мы получили формулу n-го члена геометрической прогрессии.

b2 = b1∙q
b3 = b2∙q = b1∙q2
b4= b3∙q = b1∙q3
b5 = b4∙q = b1∙q4 ...
bn=b1∙qn-1    (*)

---

Слайд 9 Решение задач
Задача 1
В геометрической прогрессии b1=12,8 и q=1/4. Найдите b7.

Решение:

b7 =b1∙q6=12,8∙(1/4)6= 128 / 10 . 212 = = 27 / 10 . 212 = 1/320.

---

Слайд 10 Задача 2
Найдем восьмой член геометрической прогрессии (bn), если b1

=162 и b3 =18.

Решение :

используя формулу (*), найдем знаменатель q.
Так как b3=b1∙q2,
то q2=b3 / b1=18 / 162=1/9.
Решив уравнение q2 = 1/9, получим
q = ±1/3.

Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи.
Если q = 1/3, то b8 =b1∙q7=2/27.
Если q = -1/3, то b8 = -2/27.

Задача имеет два решения:
b8 = 2/27 и b8 = -2/27.

---

Слайд 11 Задача 3
После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда

удаляется 20% находящегося в нем воздуха.

Определим давление воздуха внутри сосуда после шести движений поршня, если первоначально давление было 760 мм рт. ст.

---

Слайд 12 Решение :
так как после каждого движения поршня в сосуде остается

80% воздуха. Чтобы узнать давление воздуха в сосуде после очередного движения поршня, нужно давление после предыдущего движения поршня умножить на 0,8.

Мы имеем Г.П.- (bn), bn = 760, а q = 0,8. Число, выражающее давление воздуха в сосуде после шести движений поршня, является седьмым членом этой прогрессии :

b7 = 760∙(0,8)6 ≈ 200 (мм рт. ст.).

---

Слайд 13 Задача 4

Решение :
10% = 0,1. Коэффициент увеличения вклада равен 1,1.

Имеем геометрическую прогрессию (сn ).
с1 = 1000 р., q = 1,1. с4 – вклад через три года. Следовательно,
с4 = с1 . q3 = 1000 . (1,1)3 = 1331.

Через три года вклад будет равен 1331 р.

Срочный вклад 1000 р., положенный в банк, ежегодно увеличивается на 10%. Каким станет вклад через 3 года?

---

Слайд 14 Итог урока
Итак, на этом уроке вы познакомились с одним

из видов числовых последовательностей. Чтобы закрепить новые понятия, выполните задания. Ответы и решение напишите на листке бумаги и сдайте учителю.

---

Слайд 15 Задания :
Закончите фразу :
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от

нуля чисел . . . . . .
В геометрической прогрессии число q называется . . . . . .
q можно найти по формуле . . . . .
Формула нахождения n-го члена Г. П. такова . . . . .

---

Слайд 16 Решите самостоятельно
№ 1 Найдите первые пять

членов Г. П. - (bn ), если b1 = 6, q = 2.
№ 2 Последовательность ( xn ) – Г. П., x1 = 16, q = 1/2. Найдите седьмой член прогрессии.
№ 3 Срочный вклад, положенный в банк, ежегодно увеличивается на 20%. Каким станет вклад через 3 года, если вначале он был равен 800 р.?

---

Слайд 17 Спсибо за урок. Желаю успехов !

---