Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Теорема Эйлера и правильные многогранники. Применение теоремы Эйлера к решению задач

Содержание

Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук Л. Кэрролл
Теорема Эйлера и  правильные многогранникиАвтор: Макарова Татьяна Павловна, учитель математики ГБОУ Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел Цель:Изучить классификацию правильных многогранников и их свойстваПроанализировать связь геометрии, теории чисел и Правильные многогранникиТетраэдрИкосаэдрГексаэдрОктаэдрДодекаэдр Многогранники и научные фантазии ученыхПравильные многогранники в философской картине мира Платона Кубок Кубок КеплераСфера орбиты СатурнаКубСфера орбиты ЮпитераТетраэдрСфера орбиты МарсаДодекаэдрСфера орбиты ЗемлиИкосаэдрСфера орбиты ВенерыОктаэдрСфера орбиты Меркурия Исследовательская частьТаблица 1 Таблица 2 Леонард Эйлер(1701-1783)Немецкий математик и физикФормула Эйлера(для правильных многогранников)Г+В-Р=2 Выпуклый многогранник называется комбинаторно правильным, если все его грани имеют одинаковое число Решая систему уравнений B – P + Г =2, 2P = mГ, 2P = nB относительно чисел B, P и Г, Из всех девяти пар чисел (m, n) неравенству удовлетворяют только следующие пять:(3, Применение теоремы Эйлера при решении задач	Задача 1. Футбольный мяч шьется из кусков Из него заключаем, что мяч нельзя сшить только из шестиугольных кусков.	Ответ: нет, Основные свойстваДвойственность Наличие 3 сфер: вписанной, описанной и касающейся всех ребер правильного многогранника Практическая частьРасчет объема додекаэдраОбъем додекаэдра равен:Где S5 – площадь правильного пятиугольника Подставив это значение, получим значение для S5:Найдем значение tg 36° в радианах: Изобразим фрагмент додекаэдра: биссектор угла с ребром А1А2 перпендикулярен плоскости (О1О2О), ∠О1ВО2 Найдем   :А1А2 — диагональ грани, А1М ⊥ А3А4, А2М ⊥ А3А4. ∠А1МА2 = ϕ То есть: Из прямоугольного треугольника А1ММ1:Найдем      : Ответ:В итоге:    Окончательно:V=a3(15+7√5)/4 Таблица 5 Многогранники и живая природаФеодарияСкелет этих одноклеточных организмов по форме напоминает икосаэдр. Такая Итоги работыНевозможность существования иных правильных выпуклых многогранниковСистематизированы свойства правильных многогранниковТопология – теорема Используемая литература1. Смирнова И.М. В мире многогранников. -М, 2010.2. Атанасян Л.С., Бутузов Спасибо за внимание!
Слайды презентации

Слайд 2 Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный

Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд

по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных

наук
Л. Кэрролл

Слайд 3 Цель:
Изучить классификацию правильных многогранников и их свойства
Проанализировать связь

Цель:Изучить классификацию правильных многогранников и их свойстваПроанализировать связь геометрии, теории чисел

геометрии, теории чисел и алгебры
Применять теорему Эйлера к решению

задач
Развить представления о многогранниках и мире

Слайд 4 Правильные многогранники
Тетраэдр
Икосаэдр
Гексаэдр
Октаэдр
Додекаэдр

Правильные многогранникиТетраэдрИкосаэдрГексаэдрОктаэдрДодекаэдр

Слайд 5 Многогранники и научные фантазии ученых
Правильные многогранники в философской

Многогранники и научные фантазии ученыхПравильные многогранники в философской картине мира Платона Кубок Кеплера Икосаэдро–додекаэдровая структура Земли

картине мира Платона
Кубок Кеплера
Икосаэдро–додекаэдровая структура Земли


Слайд 6
Кубок Кеплера
Сфера орбиты Сатурна
Куб
Сфера орбиты Юпитера
Тетраэдр
Сфера орбиты

Кубок КеплераСфера орбиты СатурнаКубСфера орбиты ЮпитераТетраэдрСфера орбиты МарсаДодекаэдрСфера орбиты ЗемлиИкосаэдрСфера орбиты ВенерыОктаэдрСфера орбиты Меркурия

Марса
Додекаэдр
Сфера орбиты Земли
Икосаэдр
Сфера орбиты Венеры
Октаэдр
Сфера орбиты Меркурия











Слайд 7 Исследовательская часть
Таблица 1

Исследовательская частьТаблица 1

Слайд 8 Таблица 2

Таблица 2

Слайд 9 Леонард Эйлер
(1701-1783)
Немецкий
математик и
физик
Формула Эйлера
(для правильных многогранников)
Г+В-Р=2

Леонард Эйлер(1701-1783)Немецкий математик и физикФормула Эйлера(для правильных многогранников)Г+В-Р=2

Слайд 10 Выпуклый многогранник называется комбинаторно правильным, если все его

Выпуклый многогранник называется комбинаторно правильным, если все его грани имеют одинаковое

грани имеют одинаковое число сторон (m) и все его

вершины имеют одинаковую степень (n).

Будем считать, что Комбинаторно правильный многогранник имеет тип (m, n), если каждая его грань является m–угольником, а степень каждой вершины равна n.







Зная, что m, n = или 3, или 4, или 5, отсюда следует то, что может существовать девять различных пар (m,n):

(3,3) (3,4) (3,5) (4,3) (4,4) (4,5) (5,3) (5,4) (5,5)


Слайд 11 Решая систему уравнений B – P + Г =2, 2P = mГ, 2P = nB относительно чисел

Решая систему уравнений B – P + Г =2, 2P = mГ, 2P = nB относительно чисел B, P и

B, P и Г, получаем:
Так как В,Г,Р >0

отсюда следует, что 2m+2n-mn>0 или :
(m-2)(n-2)<4

Слайд 12
Из всех девяти пар чисел (m, n) неравенству

Из всех девяти пар чисел (m, n) неравенству удовлетворяют только следующие

удовлетворяют только следующие пять:
(3, 3), (4, 3), (3, 4),

(5, 3), (3, 5).

Таблица 4


Слайд 13 Применение теоремы Эйлера при решении задач
Задача 1. Футбольный

Применение теоремы Эйлера при решении задач	Задача 1. Футбольный мяч шьется из

мяч шьется из кусков кожи двух типов: пятиугольных и

шестиугольных (которые, кроме формы, отличаются еще и цветом). Можно ли сшить мяч из одних только шестиугольных кусков?
Решение:
Мяч можно рассматривать как сферу, разбитую на сферические грани — многоугольники. При этом выполнены соотношения : B – P + Г = 2; Г = Г3 + Г4 + Г5 + ... ; B = B3 + B4 + ... Bm ; 2P = 3B3 + 4B4 + 5B5 + ... ; 2P = 3Г3 + 4Г4 + 5Г5 + ...
и все следствия из них, в частности, неравенство:
3Г3 + 2Г4 + Г5 ≥ 12.


 


Слайд 14 Из него заключаем, что мяч нельзя сшить только

Из него заключаем, что мяч нельзя сшить только из шестиугольных кусков.	Ответ:

из шестиугольных кусков.
Ответ: нет, нельзя.
Задача  2. Если все

грани многогранника – треугольники, то число граней четное. Кроме того, в этом случае P = 3B – 6, Г = 2B – 4.
Решение:
Из условия задачи и из равенства 2P = 3Г3 + 4Г4 + 5Г5 + ...  имеем 2P = 3Г, откуда следует первое утверждение. Исключая из равенств B – P + Г = 2 и 2P = 3Г сначала Г, затем P, получим требуемые равенства:
P = 3B – 6, Г = 2B – 4.

Слайд 15 Основные свойства
Двойственность
Наличие 3 сфер: вписанной, описанной и

Основные свойстваДвойственность Наличие 3 сфер: вписанной, описанной и касающейся всех ребер правильного многогранника

касающейся всех ребер правильного многогранника


Слайд 16 Практическая часть

Расчет объема додекаэдра


Объем додекаэдра равен:
Где S5 –

Практическая частьРасчет объема додекаэдраОбъем додекаэдра равен:Где S5 – площадь правильного пятиугольника

площадь правильного пятиугольника


Слайд 17 Подставив это значение, получим значение для S5:
Найдем значение

Подставив это значение, получим значение для S5:Найдем значение tg 36° в радианах:

tg 36° в радианах:


Слайд 18

Изобразим фрагмент додекаэдра: биссектор угла с ребром А1А2

Изобразим фрагмент додекаэдра: биссектор угла с ребром А1А2 перпендикулярен плоскости (О1О2О),

перпендикулярен плоскости (О1О2О), ∠О1ВО2 — линейный угол двугранного угла

с ребром А1А2, ВО — его биссектриса.


ОО1= ОО2=r, ВО1= ВО2=r0, где r0 — радиус окружности, вписанной в грань. Тогда



очевидно (из треугольника О1ОВ).

Найдем r :


Слайд 19 Найдем :
А1А2 — диагональ грани, А1М ⊥ А3А4,

Найдем  :А1А2 — диагональ грани, А1М ⊥ А3А4, А2М ⊥ А3А4. ∠А1МА2 = ϕ

А2М ⊥ А3А4. ∠А1МА2 = ϕ — искомый, А1М — расстояние

от вершины А1 до стороны А3А4. М1 — середина А1А2 и так как треугольник А1МА2 — равнобедренный, то

∠А1ММ1 =

Но d = 2a cos36° ,то есть
A1M1=d/2=a cos36°=a(1+√5)/4.

Из прямоугольного треугольника А1МА3 имеем А1М = А1А3 sin72°.


Слайд 20 То есть:
Из прямоугольного треугольника А1ММ1:
Найдем

То есть: Из прямоугольного треугольника А1ММ1:Найдем   : Осталось найти    :

:
Осталось найти

:

Слайд 21 Ответ:
В итоге:
Окончательно:
V=a3(15+7√5)/4

Ответ:В итоге:  Окончательно:V=a3(15+7√5)/4

Слайд 22 Таблица 5

Таблица 5

Слайд 23 Многогранники и живая природа
Феодария
Скелет этих одноклеточных организмов по

Многогранники и живая природаФеодарияСкелет этих одноклеточных организмов по форме напоминает икосаэдр.

форме напоминает икосаэдр. Такая форма помогает феодариям преодолевать давление

водной толщи.

Слайд 24 Итоги работы
Невозможность существования иных правильных выпуклых многогранников
Систематизированы свойства

Итоги работыНевозможность существования иных правильных выпуклых многогранниковСистематизированы свойства правильных многогранниковТопология –

правильных многогранников
Топология – теорема Эйлера – геометрия
Применение при решении

задач
Неживая природа – правильные многогранники – живая природа

Слайд 25 Используемая литература
1. Смирнова И.М. В мире многогранников. -М,

Используемая литература1. Смирнова И.М. В мире многогранников. -М, 2010.2. Атанасян Л.С.,

2010.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., С.Б. Кардомцев и др.

Геометрия: учебник для 10-11 кл. общеобр. учр.- М.: Просвещение, 2012.
3. http://virlib-old.eunnet/
4. http://school.techno.ru
5. http://tmn.fio.ru

  • Имя файла: teorema-eylera-i-pravilnye-mnogogranniki-primenenie-teoremy-eylera-k-resheniyu-zadach.pptx
  • Количество просмотров: 172
  • Количество скачиваний: 1