Презентация на тему Производная

порядков
7.Способы записи производных
8.Примеры
9.Правила дифференцирования
10.Вывод
11.Интернет-ресурсы

развития математических знаний:
Формирование понятия геометрической фигурыФормирование понятия геометрической фигуры

и числа как идеализации реальных объектов и множеств однородных объектов. Появление счёта и измерения, которые позволили сравнивать различные числа, длины, площади и объёмы.
Изобретение арифметических операций. Накопление эмпирическим путём (методом проб и ошибок) знаний о свойствах арифметических действий, о способах измерения площадей и объёмовИзобретение арифметических операций. Накопление эмпирическим путём (методом проб и ошибок) знаний о свойствах арифметических действий, о способах измерения площадей и объёмов простых фигур и тел. В этом направлении далеко продвинулись шумеро-вавилонскиеИзобретение арифметических операций. Накопление эмпирическим путём (методом проб и ошибок) знаний о свойствах арифметических действий, о способах измерения площадей и объёмов простых фигур и тел. В этом направлении далеко продвинулись шумеро-вавилонские, китайскиеИзобретение арифметических операций. Накопление эмпирическим путём (методом проб и ошибок) знаний о свойствах арифметических действий, о способах измерения площадей и объёмов простых фигур и тел. В этом направлении далеко продвинулись шумеро-вавилонские, китайские и индийские математики древности.
Появление в древней ГрецииПоявление в древней Греции дедуктивной математической системы, показавшей, как получать новые математические истины на основе уже имеющихся. Венцом достижений древнегреческой математики стали «Начала» Евклида, игравшие роль стандарта математической строгости в течение двух тысячелетий.
Математики стран ислама не только сохранили античные достижения, но и смогли осуществить их синтез с открытиями индийских математиков, которые в теории чисел продвинулись дальше греков.
В XVI—XVIII веках возрождается и уходит далеко вперёд европейская математика. Её концептуальной основой в этот период являлась уверенность в том, что математические модели являются своего рода идеальным скелетом Вселенной[L 1]В XVI—XVIII веках возрождается и уходит далеко вперёд европейская математика. Её концептуальной основой в этот период являлась уверенность в том, что математические модели являются своего рода идеальным скелетом Вселенной[L 1], и поэтому открытие математических истин является одновременно открытием новых свойств реального мира. Главным успехом на этом пути стала разработка математических моделей зависимости (функцияВ XVI—XVIII веках возрождается и уходит далеко вперёд европейская математика. Её концептуальной основой в этот период являлась уверенность в том, что математические модели являются своего рода идеальным скелетом Вселенной[L 1], и поэтому открытие математических истин является одновременно открытием новых свойств реального мира. Главным успехом на этом пути стала разработка математических моделей зависимости (функция) и ускоренного движения (анализ бесконечно малыхВ XVI—XVIII веках возрождается и уходит далеко вперёд европейская математика. Её концептуальной основой в этот период являлась уверенность в том, что математические модели являются своего рода идеальным скелетом Вселенной[L 1], и поэтому открытие математических истин является одновременно открытием новых свойств реального мира. Главным успехом на этом пути стала разработка математических моделей зависимости (функция) и ускоренного движения (анализ бесконечно малых). Все естественные науки были перестроены на базе новооткрытых математических моделей, и это привело к колоссальному их прогрессу.
В XIX—XX веках становится понятно, что взаимоотношение математики и реальности далеко не столь просто, как ранее казалось. Не существует общепризнанного ответа на своего рода «основной вопрос философии математики»[L 2]В XIX—XX веках становится понятно, что взаимоотношение математики и реальности далеко не столь просто, как ранее казалось. Не существует общепризнанного ответа на своего рода «основной вопрос философии математики»[L 2]: найти причину «непостижимой эффективности математики в естественных науках»[L 3]В XIX—XX веках становится понятно, что взаимоотношение математики и реальности далеко не столь просто, как ранее казалось. Не существует общепризнанного ответа на своего рода «основной вопрос философии математики»[L 2]: найти причину «непостижимой эффективности математики в естественных науках»[L 3]. В этом, и не только в этом, отношении математики разделились на множество дискутирующих школ. Наметилось несколько опасных тенденций[L 4]: чрезмерно узкая специализация, изоляция от практических задач и др. В то же время мощь математики и её престиж, поддержанный эффективностью применения, высоки как никогда прежде

число,к которому стремится разностное отношение.

пределом, может не существовать или существовать и быть конечной

или бесконечной. Функция f является дифференцируемой в точке x0 тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

Для дифференцируемой в x0 функции f в окрестности U(x0) справедливо представление
f(x) = f(x0) + f'(x0)(x − x0) + o(x − x0)

функции, а Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)

приращением значения функции в точке x0. Тогда

Пусть функция имеет конечную производную в каждой точке Тогда определена произво́дная фу́нкция

Функция, имеющая конечную производную в точке, непрерывна в ней. Обратное не всегда верно.
Если производная функция сама является непрерывной, то функцию f называют непреры́вно дифференци́руемой и пишут:

графике функцииГеометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса

x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C5). Расстояние Δx = x — x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C5 — C1). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x0.

Полагаем

Если функция f дифференцируема в x0, то производная

первого порядка определяется соотношением

Пусть теперь производная n-го порядка f(n) определена в некоторой окрестности точки x0 и дифференцируема. Тогда

и используемого математического аппарата используют различные способы записи производных.

Так, производная n-го порядка может быть записана в нотациях:
Лагранжа f(n)(x0), при этом для малых n часто используют штрихи и римские цифры:
f(1)(x0) = f'(x0) = fI(x0),
f(2)(x0) = f''(x0) = fII(x0),
f(3)(x0) = f'''(x0) = fIII(x0),
f(4)(x0) = fIV(x0), и т. д.
Такая запись удобна своей краткостью и широко распространена;
Лейбница, удобная наглядной записью отношения бесконечно малых:

Ньютона, которая часто используется в механике для производной по времени функции координаты (для пространственной производной чаще используют запись Лагранжа). Порядок производной обозначается числом точек над функцией, например:
 — производная первого порядка x по t при t = t0, или — вторая производная f по x в точке x0 и т.д.
ЭйлераЭйлера, использующая дифференциальный операторЭйлера, использующая дифференциальный оператор (строго говоря, дифференциальное выражение, пока не введено соответствующее функциональное пространство), и потому удобная в вопросах, связанных с функциональным анализом: ,

Конечно, при этом надо не забывать, что служат все они для обозначения одних и те же объектов:

= | x | . Тогда если то

f'(x0) = sgnx0,
где sgn обозначает функцию знака. Если x0 = 0, то а
следовательно f'(x0) не существует

этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями

функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу.
(производная суммы равна сумме производных)
(отсюда, в частности, следует, что производная произведения функции и константы равна произведению производной этой функции на константу)

Если функция задана параметрически:
то,

пор,в наши дни.
Производная одно из основных понятий дифференциального исчисления.