FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.
Email: Нажмите что бы посмотреть
Основы логики были заложены работами ученого и философа Аристотеля
(384 -322гг. до н.э.).
Пример 3.1. Отобразить с помощью диаграммы Эйлера-Венна соотношение между объемами понятий натуральные числа и четные числа.
А ={Натуральные числа (целые положительные числа)}
В ={Четные числа (множество отрицательных и положительных четных чисел)}
С ={множество положительных четных чисел}
А
НЕ А
3.3. Отобразить с помощью диаграммы Эйлера-Венна соотношения между следующими объемами понятий:
а) целые и натуральные числа;
б) четные и нечетные числа.
в) Все грибы, съедобные и несъедобные грибы
Ц
Пример:
«Все углы треугольника равны» (посылка), то «Этот треугольник равносторонний» (заключение)
Посылками умозаключений по правилам формальной логики могут быть только истинные суждения, и тогда умозаключение будет истинным. В противном случае можно прийти к ложному умозаключению.
Немецкий ученый Готфрид Лейбниц (1646-1716) заложил основы математической логики. Он пытался построить первые логические исчисления (свести логику к математике), предложил использовать символы вместо слов обычного языка, поставил много задач по созданию символьной логики, его идеи оказали влияние на последующие работы ученых в этой области.
Математическая логика
Высказывание “Все мышки и кошки с хвостами”
является сложным и состоит из двух простых высказываний.
А=“Все мышки с хвостами” и В=“Все кошки с хвостами”
Его можно записать в виде логической функции, значение которой истинно: F(A,B)=A и B
В математической логике не рассматривается конкретное содержание высказывания, важно только, истинно оно или ложно. Поэтому высказывание можно представить некоторой переменной величиной, значением которой может быть только ложно (0) или истинно (1).
Обозначение: А→В, А⇒В
Таблица истинности:
Импликация - логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.
Обозначение: А~В, А↔В, А≡В, А=В
логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.
Таблица истинности:
1
2
3
1
2
1
2
3
4
1
2
1
2
3
3
Приоритет логических операций:
() Операции в скобках
НЕ Отрицание
И логическое умножение
ИЛИ Логическое сложение
→ Импликация
↔ Эквивалентность
Обозначим
А=«2·2=5» – ложно (0)
В=«2·2=4» – истинно (1)
Тогда (А или В) и ( или )
Определяем истинность составного высказывания:
А=1, В=0, С=1, D=0
Установим истинность простых высказываний:
Пример. Построим таблицу истинности следующей функции:
Логические выражения, у которых последние столбцы в таблице истинности совпадают, называются равносильными.
Знак «=» - равносильность.
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
А =«2·2=4» - 1 В = «3·3=9» - 1. Тогда
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
Таблица. Логические функции двух переменных
·
+
Ответ: N= 28=256 , т.к. каждая логическая функция двух аргументов имеет 8 возможных наборов значений.
2. Какие логические функции двух аргументов имеют свои названия?
Ответ: Инверсия, конъюнкция, дизъюнкция
Ответ: N= 24=16 , т.к. каждая логическая функция двух аргументов имеет 4 возможных наборов значений.
2. Если идет дождь, а у меня нет зонта, то я промокну
А=«идет дождь» В=«у меня есть зонт» С=«я промокну»
Ответ: (А&¬B)→C
3. Неверно, что если погода пасмурная, то идет дождь тогда и только тогда, когда не дует ветер
А=«погода пасмурная» В=«идет дождь» С=«дует ветер»
Ответ: ¬(А → (B↔ ¬C))
A&B
AvB
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1. Табличный
-
-
-
-
+
+
-
-
+
Ответ:
Седов рыжий
Чернов седой
Рыжов черноволосый
2. Графический
Седов (м)
Чернов (к.м.)
Рыжов (1р.)
Седой
Черноволосый
Рыжий
Решение задач средствами алгебры логики
Ответ:
B=1, Седов рыжий
C=1, Чернов седой
E=1, Рыжов черноволосый
Решение.
А=«В 1-ой ауд. каб. Информатики»
В=«Во 2-ой ауд. каб. Информатики»
=«В 1-ой ауд. каб. Физики»
=«Во 2-ой ауд. каб. Физики»
X=(АvB)
Y=Не А
Сл-но, В=1 и
Ответ: «В 1-ой ауд. каб. Физики»
«Во 2-ой ауд. каб. Информатики»
Решение:
А=«Наташа 1 м.»
В=«Маша 2 м.»
С=«Люда 2м.»
D=«Рита 4 м.»
E=«Рита 3м.»
F=«Наташа 2 м.»
АvB=1, CvD=1, EvF=1
Но, A&F=0
B&C=0
B&F=0
C&F=0
D&E=0
(АvB)&(CvD)&(EvF)=1
(АvB)&(CvD)&(EvF)= ((А+B)(C+D))(E+F)=
(AC+AD+BC+BD)(E+F)=
(AC+AD+BD)(E+F)=
ACE+ADE+BDE+ ACF+ADF+BDF=ACE=1
A=1,C=1,E=1
1м –Наташа
2м – Люда
3м – Рита
4м - Маша
О: 1423
Решение:
А=«Миша разбил»
В=«Коля разбил»
С=«Сергей разбил»
Ответ: М - Миша разбил
С 1886 г. американский логик Чарльз Сандерс Пирс (в честь его названа логическая операция – «стрелка Пирса») работает над модификацией и расширением булевой алгебры. Пирс первый осознал, что бинарная логика имеет сходство с работой электрических переключательных схем. Электрический переключатель либо пропускает ток (истина), либо не пропускает (ложь). Пирс даже придумал простую электрическую логическую схему, но так и не собрал ее.
(1839 - 1914)
Принципы работы вычислительных машин в своей основе просты.
Работа ЭВМ состоит в операциях над числами и символами, закодированными двумя цифрами – 0 и 1, и пересылке этой информации по линиям связи. А работа всех устройств ЭВМ заключается в операциях над этими последовательностями из 0 и 1
1916 – 2001гг.
Лампочка горит, если выключатель не включен
Таблица истинности:
Элемент И имеет не менее двух входов и один выход. Х1,Х2 - входные сигналы, F – выходной сигнал.
Логика элемента И заключается в том, что на его выходе F будет сформирован сигнал 1 тогда и только тогда, когда на каждом из его входов будет сигнал 1.
Лампочка горит тогда и только тогда, когда включены оба выключателя
Таблица истинности:
Имеет не менее двух входов и один выход. Сигнал 0 на выходе F элемента ИЛИ появится только в том случае, если сигнал 1 не поступил ни на один из входов.
Лампочка горит, если включен хотя бы один выключатель
Примеры:
В роли “элементарной частицы” в ЭВМ всегда выступает разновидность выключателя. И если правильно соединить очень много выключателей и поставить очень много людей, которые будут ими щелкать в нужный момент, то получится вычислительная машина.
2. Объединив полученные конъюнкции дизъюнкцией, получим следующую логическую функцию.
4. По полученной функции построим логическую схему:
3. Упростим:
Правильность полученной формулы можно проверить сопоставлением таблиц истинности по последним столбцам.
Таблица истинности:
Для записи функции необходимо записать значения на выходе каждого элемента схемы:
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
Следовательно получится функция:
1.
2.
III. Упростите:
1.
2.
Триггер имеет
два входа:
S (set –установка) и
R (reset – сброс) и
два выхода
Q (прямой) и
НЕQ (инверсный)
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
Число триггеров в регистре называется разрядностью компьютера, которая может быть равна 8, 16, 32, 64.
- 8
- 8192
- 8388608
Сумматор – устройство для сложения двоичных чисел. Сумматор – основа микропроцессора, т.к все операции в микропроцессоре сводятся к сложению.
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
