Презентация на тему Конспект и презентация к уроку по теме Методы решения тригонометрических уравнений

тригонометрическим. 
Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:  преобразование

уравнения для получения его простейшего вида и  решение полученного простейшего тригонометрического уравнения.
Методы решения  тригонометрических уравнений:
1 Алгебраический метод ( метод замены переменной и подстановки ).
2. Разложение на множители. 
3. Приведение к однородному уравнению.
4. Переход к половинному углу.
5. Введение вспомогательного угла.
6. Преобразование произведения в сумму.
7. Универсальная подстановка.

и подстановки ).

е р  1.  Решить уравнение:  sin x + cos

x = 1 .
     Р е ш е н и е .   Перенесём все члены уравнения влево:                      sin x + cos x – 1 = 0 , преобразуем и разложим на множители выражение в    левой части уравнения:

уравнение: cos 2 x + sin x · cos

x = 1.

Р е ш е н и е .     cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,
                                             sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,
sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

относительно  sin  и  cos, если все его члены одной

и той же степени относительно sin  и cos  одного и того же угла.
Чтобы решить однородное уравнение, надо:

   а)  перенести все его члены в левую часть;
   б)  вынести все общие множители за скобки;
   в)  приравнять все множители и скобки нулю;
   г)  скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на 
        cos ( или sin ) в старшей степени; 
   д)  решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan . 
 

sin x · cos x + 5 cos 2

x = 2.

    Р е ш е н и е .  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
                             sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
                             tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 ,  отсюда  y 2 + 4y +3 = 0 ,
корни этого уравнения:  y1 = -1,  y2 = -3,  отсюда
1)   tan x = –1,                  2)   tan x = –3,

sin x – 5 cos x = 7. 
6 sin

( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) = 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,
2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,
                             tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,
                                     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .

sin x + b cos x = c ,
   

где  a, b, c – коэффициенты;  x – неизвестное.

м е р .  Решить уравнение:  2 sin x

· sin 3x = cos 4x.
 
    Р е ш е н и е .  Преобразуем левую часть в сумму:
 
                                        cos 4x – cos 8x = cos 4x ,
 
                                                 cos 8x = 0 ,
 
                                                 8x = p / 2 + pk ,
 
                                                 x = p / 16 + pk / 8 .
 

е р .   Решить уравнение:  3 sin x –

4 cos x = 3 .

Таким образом, решение даёт только первый случай.