Презентация на тему по алгебре на тему: Различные виды решения квадратных уравнений.

уравнений различными способами.

зависимости от его вида?
2.Можно ли одно и тоже

уравнение решить не единственным способом?

3.Лекция(сообщения учащихся о рассмотренном способе решения с примером применения

данного способа).
4.Дом.задание
5.Итог урока , выводы

- руки вперед
(наклоны вправо – влево и т.д.)
Предлагаются

задания для устного счета с ответом(верным или неверным).Ученики, обдумывая , «сигналят» об ответе .

ах2 + bx + c=0

D = b2 - 4ac

D>0 D=0 D<0

X1,2 = X = Действ. корней нет

b2 - 4ac = 12 - 4∙6∙(-2) = 1

+ 48 = 49,
D>0, два корня.

ах2 + bx + c = 0
b = 2m
D1 = m2 - ac

D1>0 D1 = 0 D1<0


Действительных
корней нет

= 0
D1 = m2 – ac = (-2)2 –

3∙1 = 4 – 3 = 1,
D>0, два корня.

х2 + px+ q= 0



D>0 D=0 D<0

Действительных
корней нет

(

)2 - q

= 15, x2 = -1

корнями уравнения:
ax² + bx + c = 0
необходимо

и достаточно выполнения равенства
x1 + x2 = -b/a и x1x2 = c/a
Теорема Виета позволяет судить о знаках и абсолютной величине квадратного уравнения, а именно:
x² + bx + c = 0
Если b>0, c>0 то оба корня отрицательны.
Если b<0, c>0 то оба корня положительны.
Если b>0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного.
Если b<0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного.

x2 таковы, что х1 + х2= -p, x1 ∙

x2 = q , то х1 и х2 – корни уравнения
x2 + px + q = 0 .

Пример: x2 - 7x + 12 = 0 x1 + x2 = 7 x1 = 3, x1 ∙ x2 = 12 x2 = 4

уравнение х2 + 10х – 24 = 0.   Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители: х2 + 10х – 24 = х2 + 12х – 2х – 24 = х (х + 12) – 2 (х +12) = (х + 12)(х – 2). Следовательно, уравнение можно переписать так:   (х + 12)(х – 2) = 0. Так как произведение равно нулю, то по крайне мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = - 12. это означает, что числа 2 и – 12 являются корнями уравнения х2 + 10х – 24 =0.

Решим уравнение х2 + 6х

– 7 = 0  Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде: х2 + 6х = х2 + 2· х ·3. В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа х, а второе – удвоенное произведение х на 3. поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как х2 + 2· х ·3 + 32 = (х + 3)2 . Преобразуем теперь левую часть уравнения х2 + 6х – 7 = 0,  прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем: х2 + 6х – 7 = х2 + 2· х ·3 + 32 – 32 – 7 = (х + 3)2 – 9 – 7 = (х + 3)2 – 16.  Таким образом, данное уравнение можно записать так: (х + 3)2 –16 = 0, т.е. (х + 3)2 = 16.  Следовательно, х = 3 = 4, х1 = 1, или х +3 = - 4 , х2 = – 7.  

x2 + px + q

= 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим x2 = – px – q . Построим графики зависимостей у = х2 и у = – px – q . График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости – прямая. Возможны следующие случаи: прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения; - прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка),т.е. уравнение имеет одно решение; - прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

4 = 0.   Решение. Запишем уравнение в

виде х2 = 3х + 4 Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4. Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0;4) и N (3;13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и B с абсциссами х1 = – 1 и х2 = 4.

«переброски»

Рассмотрим квадратное уравнение

ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0. Умножая обе его части на а, получаем уравнение а2 х2 + а bх + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х =y/a ; тогда приходим к уравнению у2 + by + ас = 0, равносильного данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 = у1 /a и х2 = у2 /a . При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

15 = 0.   Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену,

в результате получим уравнение у2 – 11y +30 = 0. Согласно теореме Виета

линейки.
Графический способ решения квадратных уравнений с помощью

параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то потребуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.
Предлагаем следующий способ нахождения корней квадратного
уравнения
ах2 + bх + с = 0
с помощью циркуля и линейки.
Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в
точках B (х1 ;0) и D (х2 ;0), где х1 и х2 – корни уравнения
ах2 + bх + с = 0, и проходит через точки А (0;1) и С (0; ) на
оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем ОВ∙ОD = ОА ∙ ОС, откуда
 
ОС = (ОВ∙ОD) : ОА=( х1 ∙ х2 ):1= с/а
 

.

между коэффициентами a,b,c.
1) Если a+ b+ c =

0, то x1 = 1,
x2 = c/a .

Пример: 2x2 + 3x – 5 =0
2+3-5=0, значит
x1 = 1; x2 = -5/2

= 0, то x1 = -1; x2 = -c/a.  

Пример:

2x2 + 3x - 1=0
2-3+1=0, значит
x1 = -1; x2 = 1/2

b = n2 + 1, т. е. nx2 +

(n2+1)x +n=0, то x1 = -n; x2 = -1/n

Пример: 2x2 + 5x + 2=0
5=22+1, n=2
x1 = -2; x2 = -1/2
 

b = -(n2+1), т. е. nx2 – (n2+1)x+n=0, то

x1 = n; x2 = 1/n

Пример: 3x2 – 10x + 3=0
3х2-(32+1)х+3=0
x1 = 3; x2 = 1/3

= 0, то х= -а; x = 1/a  
Пример: 5x2

+ (52-1)x – 5 = 0
х=-5, x = 1/5

= 0, то х=а , x = -1/a  
Пример:

5x2 – (52-1)x – 5 = 0
х=5, x = -1/5

соотношений между коэффициентами ,составить уравнения и решить их.

быть использованы при решении квадратных уравнений .