Презентация на тему по математике на тему Методы решения смешанных уравнений

вариантах ЕГЭ довольно часто встречаются стандартные иррациональные уравнения вида
 

,
которые вполне могут быть решены одним из двух стандартных способов - переходом к

равносильной системе   

или возведением в квадрат обеих частей уравнения и последующей проверкой. 

уравнения.
При    уравнение принимает вид 

Равенство неверно, следовательно, найденное значение не является корнем исходного уравнения. При    уравнение принимает вид

  Равенство верно, следовательно, число 3 – корень данного уравнения.

некоторое время, что при решении задач Единого Государственного Экзамена

(ЕГЭ) может быть довольно важным. Следует отметить, что задачи подобного типа встречаются, как правило, в первой части, то есть представляют из себя задачи с кратким ответом. Значит, подробное решение задачи не требуется. Отсюда возникает ещё один способ – «угадать» решение.

из себя убывающую на всей области определения функцию, а

правая часть – возрастающую функцию. Отсюда следует вывод, что если решение есть – то оно единственное. Это решение несложно подобрать . 

предыдущем примере, уравнение вида   

будет иметь не более одного корня, если левая часть представляет из себя монотонно возрастающую функцию, а правая – монотонно убывающую.

. Если уравнение имеет больше

одного корня, в ответ запишите их сумму.  

Левая часть уравнения представляет из себя монотонно возрастающую функцию, правая – постоянное число. Значит, если решение есть – то оно единственное. Несложным подбором убеждаемся, что это число 21.

«метод угадывания» значительно сокращает временные затраты на решение. Кроме

того, он, по существу, включает в себя метод проверки (ведь угаданный корень необходимо подставить в уравнение). Ну и немаловажно отметить, что, как указано в инструкции по выполнению работы ЕГЭ: «Ответом в заданиях 1-12 является целое число или число, записанное в виде десятичной дроби». Следовательно, ответ надо искать среди целых чисел, ну а, учитывая, что в приведённом примере участвовал логарифм по основанию 6 – ответ становится очевиден.

  устроено так, что левая

и правая части представляют из себя ограниченные функции. В этом случае можно (а иногда и единственно возможно) применить метод «оценивания» правой и левой частей. Особенно этот метод полезен при решении так называемых «смешанных» уравнений. Проиллюстрируем это на примере.

невозможно. Обратим внимание на то, что в левой части

под логарифмом выражение всегда больше либо равно единицы, логарифмическая функция с основанием  - убывающая, поэтому 

меньше или равна нулю. В правой же части –

арифметический квадратный корень, который всегда больше или равен нулю. Отсюда получаем, что равенство возможно когда обе части уравнения обращаются в нуль. Левая часть равна нулю при   и при   , а правая – при    и   . Отсюда – единственное решение  .

При решении подобных уравнений особенно стоит отметить выделение квадрата двучлена в одной или в обеих частях уравнения.

Преобразуем правую часть уравнения.

Значит, равенство возможно только тогда, когда обе части уравнения принимают значение 2. Левая часть равна двум только при  . Проверкой убеждаемся, что и правая часть при этом значении переменной равна двум. Таким образом, ответ - 6  .
Стоит отметить, что так как это задание первой части ЕГЭ , то ответ обязательно должен быть и притом единственный, так что подставлять число -6   в правую часть не совсем обязательно.

число, левая часть – сумма двух квадратных корней. Так

как значения арифметического квадратного корня неотрицательны, то для того, чтобы уравнение имело решение, необходимо, чтобы оба квадратных корня были равны нулю. Решив квадратное уравнение  , получим  . Проверкой убеждаемся, что первый корень обращает в нуль второе слагаемое, а второй – нет. Отсюда, ответ -  .

левой части уравнения

Правая же часть, в

свою очередь, меньше либо равна двум. Отсюда получаем, что равенство возможно только тогда, когда обе части уравнения принимают значение, равное двум. Левая часть равна двум только при  . Непосредственной проверкой убеждаемся, что при    и правая часть также равна двум. Таким образом, ответ -  .

на этот раз – в показателе степени.


  В свою

очередь, правая часть уравнения не может быть меньше девяти. Отсюда получаем, что единственный ответ -  .

привлекать графические иллюстрации и соображения.

возрастает на R. Функция 

  также возрастает на  R , но «скорость» её роста меньше, чем «скорость» роста   . Объяснение этому факту возможно, например с использованием производной -  Кроме того,  . То есть . Значит, если точка пересечения существует, то она – единственная. Подбором убеждаемся, что  .

определения уравнения – если «повезёт», то, может быть, она

будет состоять из конечного множества точек, среди которых можно отыскать ответ просто проверкой – подставив в исходное уравнение.

(или, как часто говорят – ОДЗ – область допустимых

значений переменных, входящих в уравнение). Арифметический квадратный корень определен для неотрицательных подкоренных выражений, следовательно:





Таким образом, единственное допустимое значение   . Проверкой убеждаемся, что это значение является корнем исходного уравнения.