Презентация на тему по алгебре по теме Решение тригонометрических уравнений

х = -arctg5+πk,
tg 3x=0

x= πk/3
1+ сtg x=0 х =-π/4+πk
(tg x -2)(2 cos x -1)=0
tg x -2=0, х= arctg2+πk
2 cos x -1=0, х=±π/3+ πk

неизвестное под знаком тригонометрической функции.
Решение тригонометрического уравнения

состоит из двух этапов:
преобразование уравнения для получения его простейшего вида
решение полученного простейшего тригонометрического уравнения.
Рассмотрим десять основных методов решения  тригонометрических уравнений.

подстановка
Метод оценки
Метод понижения степени
Метод сравнения множеств
Переход к половинному углу
Преобразование

произведения в сумму

алгебры как метод замены переменной и подстановки.

sinx=y, -1≤y≤1
2y2+y-3=0
y1=-1,5- не подходит по условию
y2=1
Возвращаемся к старой переменной:
sinx=1
x=∏/2+2∏k,

k є Z

0 
Решение. sinx – 2sinx · cosx = 0
sinx(1- cosx)

= 0
1. sinx=0 x=∏k, k є Z
2. 1-cosx=0
cosx=1 x=2∏n, n є Z
Ответ: x=∏k, k є Z

32+42=25
√25=5
5(3sinx/5-4cosx/5)=5
3sinx/5-4cosx/5=1
Т.к. (3/5)2+(4/5)2=1, то
3/5=cosφ

φ=arccos(3/5)
4/5=sinφ φ=arcsin(4/5)
sinx∙cosφ-cosx∙sinφ=1
sin(x-φ)=1
x-φ= ∏/2+2∏k, k є Z
x=∏/2+φ+2∏k, k є Z
x=∏/2+arcsin(4/5)+2∏k, k є Z

cos, если все его члены одной и той же

степени относительно sin  и cos  одного и того же угла.
Чтобы решить однородное уравнение, надо:
а)  перенести все его члены в левую часть;
б)  вынести все общие множители за скобки;
в)  приравнять все множители и скобки нулю;
г)  скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos ( или sin ) в старшей степени; 
д)  решить полученное алгебраическое уравнение относительно tg . 

5cos2x = 2.
Решение. 
3sin2x + 4sinx · cosx +

5cos2x = 2sin2x + 2cos2x
sin2x + 4sinx · cosx + 3cos2x = 0
 tg2x + 4tgx + 3 = 0 ,
отсюда  y2 + 4y +3 = 0 ,
корни этого уравнения:
y1 = -1,  y2 = -3,
отсюда
1) tg x = –1, x=-∏/4+∏k, k є Z
2) tg x = –3, x=-arctg3+∏n, n є Z

2 и более тригонометрические функции.
Пусть tg(x/2)=t, тогда
sinx=2t/(1+t2)

(1)
cosx=(1-t2)/(1+t2) (2)
tgx=2t/(1-t2)
В конце решения следует обязательно сделать проверку!

произведем замену sinx и cosx и приведем выражение к

общему знаменателю:
(6t-4+4t2)/(1+t2)=3
Т.к. 1+t2>0, то
4t2+6t-4=3+3t2
t2+6t-7=0
t1=-7 t2=1
tg(x/2)=-7 x=2arctg(-7)+2∏k, k є Z
tg(x/2)=1 x=∏/2+2∏n, n є Z

полезно оценить значения тригонометрических функций, входящих в уравнение.

sinx∙sin5x=1
sinx=1
x=∏/2+2∏m,

m є Z
sin5x=1 - ?
sin5(∏/2+2∏n)=1
sin(5∏/2+5∙2∏n)=1
sin(5∏/2)=1
sin(∏/2)=1 - верно
Ответ:x= ∏/2+∏k, k є Z

sinx=-1
x=-∏/2+2∏n, n є Z
sin5x=-1 - ?
sin5(-∏/2+2∏n)=-1
sin(-5∏/2+5∙2∏n)=-1
sin(-5∏/2)=-1
sin(-∏/2)=-1
- sin(∏/2)=-1 - верно

формулы понижения степени:
2sin2x=1-cos2x
2cos2x=1+cos2x

є Z
x= ∏/4+∏k/2 , k є Z

множеств.
Если Е(f) ∩ E(φ) – пустое множество, то уравнение

не имеет решений
Если Е(f) ∩ E(φ) состоит только из одной общей точки, то уравнение решается системой 2-х уравнений, левые части которых равны f и φ, а правые части равны значению общей точки.

6cos25x-5cosx+5,1=0

(1)
Решение. 6cos25x+5,1=5cosx (2)
Пусть f(x)=6cos25x+5,1 и φ(x)=5cosx.
Е(f)=[5,1;11,1]-область значений функции f(x),
Е(φ)=[-5;5]-область значений функции φ(x).
Так как Е(f) ∩ E(φ) является пустое множество, то равенство (2) невозможно.
Уравнение (2) решений не имеет, а, значит, и равносильное ему уравнение (1) тоже реше-ний не имеет.

используются формулы двойного аргумента:
sin2x=2sinx∙cosx
cos2x=cos2x-sin2x

В конце решения следует обязательно сделать

проверку!

є Z
tg2(x/2)=3 x=2arctg3+2∏k , k є

Z

sinαx∙sinβx=sinγx∙sinδx,
если α+β=±(γ+δ) или α-β=±γ-δ
2. cosαx∙cosβx=cosγx∙cosδx,
если α+β=±(γ+δ) или α-β=±γ-δ
3.

sinαx∙sinβx=cosγx∙cosδx,
если α-β=±(γ+δ)
4. cosαx∙cosβx=sinγx∙sinδx,
если α+β=γ±δ или α-β=γ±δ

в сумму:
2sinα∙sinβ=cos(α-β)-cos(α+β)
2cosα∙cosβ=cos(α+β)+cos(α-β)
2sinα∙cosβ=sin(α+β)+sin(α-β)
2cosα∙sinβ=sin(α+β)-sin(α-β)
преобразования суммы в произведение:
sinα+sinβ=2sin((α+β)/2)∙cos((α-β)/2)
sinα-sinβ=2cos((α+β)/2)∙sin((α-β)/2)
cosα+cosβ=2cos((α+β)/2)∙cos((α-β)/2)
cosα-cosβ=-2sin((α+β)/2)∙sin((α-β)/2)